Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A: Analysis

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f(x) = (x2 – 2) e-x; größtmöglicher Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Art der Extrema und Wendepunkt; f nicht symmetrisch zur y-Achse; Größe des Winkels von Graph und y-Achse; f(x) = 2e-x - f” (x) - 2f’(x); rechnerisches Verfahren zur Ermittlung von Tangenten -> t1 in S1 ( – 1; f (-1)) und t2 in S2 ( 0 ; -2 ); Flächeninhalt einer vollständig begrenzten Fläche; Maximierung des Flächeninhaltes eines vorgegebenen Dreiecks (ein Punkt auf Graph)

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Punkte A, B, C, D und Pa (-4; 2a; a ) sind gegeben: EABC in parameterfreier Form; Pa auf EABC; F mit ABCF ist Trapez; ABCD ist Parallelogramm; ABCD als Grundfläche einer Pyramide mit Spitze auf vorgegebener Gerade;

Teil C: Stochastik

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Autoproduzent: Wahrscheinlichkeiten zu vorgegebenen Ereignissen; Zufallsgröße X -> Wahrscheinlichkeitsverteilung; Beschreibung einer Simulation für Schätzwert mit anschließender Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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f(x) = (x-1)-2 + 2; Fa(x) = -(x - 1) -1 + ax: Gerade g(x) ist Tangente -> Berührungspunkt; Gerade s -> Flächeninhalt eines durch g, s und x-Achse gebildeten Dreiecks; für welches a ist F Stammfunktion von f; Flächeninhalt unterhalb Graph der Funktion; Zahlenfolge aus Flächeninhalt unterhalb Graph der Funktion

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Dreieck ABC, Gerade ga: C auf keiner der Geraden g; hAB und g schneiden in genau einem Schnittpunkt -> a; h und g2 sind windschief; Flächenverhältnis der Teile eines Dreiecks, das durch eine Gerade geteilt wird


Übersicht --- Aufgabenstellungen

Teil A: Analysis

Lösung --- Teil A, B, C, D1 und D2 --- home

Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = (x2 – 2) e-x (x Element Df ) .

  1. Geben Sie für die Funktion f den größtmöglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, die Koordinaten der lokalen Extrempunkte, die Art der Extrema und die Koordinaten der Wendepunkte an.
    Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
    Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Graph der Funktion f die y-Achse schneidet.
    Zeigen Sie, dass für alle x ( x Element Df ) gilt: f(x) = 2e-x - f” (x) - 2f’(x).

    Erreichbare BE-Anzahl: 10

  2. Beschreiben Sie ein rechnerisches Verfahren zur Ermittlung einer Gleichung der Tangente an den Graphen einer differenzierbaren Funktion in einem Punkt des Graphen.
    Ermitteln Sie mit dem von Ihnen beschriebenen Verfahren eine Gleichung der Tangente t1 an den Graphen der Funktion f im Punkt S1 ( – 1; f (-1)) und geben Sie eine Gleichung der Tangente t2 an den Graphen der Funktion f im Punkt S2 ( 0 ; -2 ) an.
    Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Tangenten t1 und t2 an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  3. Die Tangente t2 (aus Aufgabenteil b), die x-Achse und der Graph der Funktion f begrenzen im IV. Quadranten eine Flächen vollständig.
    Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  4. Für jedes xp mit Wurzel von 2 < xp < 5 wird durch den Koordinatenursprung, den Punkt Pp ( xp ; f (xp)) und den Punkt Qp ( xp ; 0 ) ein Dreieck bestimmt.
    Ermitteln Sie den Wert xp für den der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird, und geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

    Eine Funktion g, deren Graph die x-Achse im Punkt P( 1; 0) berührt, ist durch die Gleichung y = g (x) = (x2 +px+q) e-x (p,q Element reeller Zahlen; x Element reeller Zahlen) gegeben.
    Bestimmen Sie die Werte p und q.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 3; 3; – 2 ), B( 5; 7; 2 ), C(1; 9; 6 ), D( – 1; 5; 2 ) und Pa (-4; 2a; a ) mit a Element reeller Zahlen gegeben.

  1. Die Punkte A, B und C bestimmen eine Ebene E.
    Ermitteln Sie je eine Gleichung der Ebene E in Parameterform und in parameterfreier Form. Für genau einen Wert a liegt der zugehörige Punkt P, in der Ebene E.
    Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  2. Es existiert mindestens ein Punkt F, so dass die Punkte A, B, C und F Eckpunkte eines Trapezes mit den folgenden Eigenschaften (1) und (2) sind:
    (1) overline AB parallel overline FC,
    (2) eine der beiden parallelen Seiten ist doppelt so lang wie die andere parallele Seite.
    Berechnen Sie die Koordinaten eines solchen Punktes F.
    Geben Sie an, wie viele Trapeze mit den Eigenschaften (1) und (2) existieren, und begründen Sie Ihre Feststellung.
    Beschreiben Sie, wie Sie die Koordinaten eines von Ihrem berechneten Punkt F verschiedenen Punktes ermitteln können, der ebenfalls die Bedingungen (1) und (2) erfüllt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  3. Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. Das Viereck ABCD ist Grundfläche von Pyramiden, die eine Höhe hp mit hp = Wurzel von65 haben.
    Berechnen Sie das Volumen einer solchen Pyramide.
    Es gibt Pyramiden, deren Höhen hp mit hp = Wurzel von65 parallel zur Geraden g mit der Gleichung vec x~=~(stack{1#3#-2})`+`t`%cdot`(stack{2#-6#5}) (t Element reeller Zahlen) verlaufen und die den Diagonalenschnittpunkt der Grundfläche als Fußpunkt haben.
    Ermitteln Sie die Koordinaten aller Punkte, die Spitzen dieser Pyramiden sein können.

    Erreichbare BE-Anzahl: 7

Test C: Stochastik

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Ein Autoproduzent, der Kleinwagen, Mittelklassewagen und Luxusmodelle herstellt, untersucht das Kaufverhalten seiner Kunden. Dabei wird ermittelt, dass 70% der Kunden einen Kleinwagen, 20% einen Mittelklassewagen und 10 % ein Luxusmodell kaufen. Beim Kleinwagen entschieden sich 1/5 der Kunden, beim Mittelklassewagen 1/3 und beim Luxusmodell 11/20 für eine Klimaanlage. Das Kaufverhalten der Kunden ist voneinander unabhängig.

  1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    Ereignis A: Ein zufällig ausgewählter Kunde fährt ein Fahrzeug mit Klimaanlage
    Ereignis B: Ein zufällig ausgewählter Kunde fährt einen Mittelklassewagen ohne Klimaanlage,
    Ereignis C: Ein zufällig ausgewählter Kunde fährt ein Luxusmodell oder ein Fahrzeug mit Klimaanlage.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Personen unter 5 zufällig ausgewählten Kunden des Herstellers, die einen Kleinwagen fahren. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert der Zufallsgröße X an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Zur Eröffnung eines neuen Autohauses des Herstellers werden 29 Gäste gezählt von denen genau fünf schon einen Wagen dieses Herstellers fahren. In einer Tombola werden unter den 29 Gästen 7 Gewinner ermittelt, wobei jeder Gast nur genau einmal gewinnen kann. Das Ereignis D sei das Ereignis, dass sich unter den 7 Gewinnern genau zwei befinden, die bereits einen Wagen dieses Herstellers fahren.
    Beschreiben Sie, wie man mit Hilfe einer Simulation (z. B, mit einem Urnenexperiment) einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses D ermitteln kann.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses D.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

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Gegeben sind die Funktion f durch y = f(x) = (x-1)-2 + 2 (x Element reeller Zahlen, x ungleich 1) und die Funktionen Fa durch y = Fa(x) = -(x - 1) -1 + ax (x Element reeller Zahlen, x ungleich 1, a Element reeller Zahlen).

  1. Die Gerade g mit der Gleichung y = g(x) = -2x + 7 ist Tangente an den Graphen der Funktion f .
    Ermitteln Sie den Berührungspunkt P.

    Die Gerade s verläuft senkrecht zur Tangente g und schneidet diese im Punkt P. Die Tangente g, die Gerade s und die x-Achse begrenzen eine Dreiecksfläche.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Für genau einen Wert a ist die Funktion Fa eine Stammfunktion der Funktion f.
    Bestimmen Sie diesen Wert a.

    Der Graph der Funktion fa die x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen x = 1,5 und x = 5 schließen eine Fläche vollständig ein.
    Ermitteln Sie den Wert b ( bElement reeller Zahlen ) auf eine Dezimalstelle genau, für den die Gerade mit der Gleichung x = b diese Fläche halbiert.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  3. Der Graph der Funktion f, die x-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen x = k und x = k+1 ( k EleementN, k größer gleich 2 ) begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt Ak vollständig. Die Flächeninhalte A1, A2, ..., An bilden Glieder einer Zahlenfolge.
    Ermitteln Sie die Folgeglieder A2 und A3.
    Bestimmen Sie eine Bildungsvorschrift dieser Zahlenfolge.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind ein Dreieck ABC durch die Punkte A (-1; 4, 3 ), B ( – 4; 2; 1 ), C ( 6; – 2; 7 ) und die Geraden ga mit der Gleichung vec x~=~(stack{11#4#a})`+`t`%cdot`(stack{-3#4#6})(a Element reeller Zahlen; t Element reeller Zahlen) gegeben.

  1. Zeigen Sie, dass der Punkt C auf keiner der Geraden g, liegt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 1

    Die Gerade h verläuft durch die Punkte A und B.

  2. Ermitteln Sie den Wert a, für den sich die Geraden ga und h in genau einem Punkt schneiden.
    Begründen Sie, dass die Geraden h und g2 zueinander windschief sind.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  3. Durch den Punkt P(1; 0; 4) verläuft die zur Geraden h parallele Gerade k. Die Gerade k teilt das Dreieck ABC in eine Dreiecksfläche mit dem Inhalt A1 und eine Trapezfläche mit dem Inhalt A2.
    Bestimmen Sie das Verhältnis A1:A2.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4


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