Beachten Sie die Ausführungen des Sächsisches Kultusministeriums, die als Richtlinie zur Bewertung dienen.

Hier ein kurzer Auszug: "Die Nutzungsmöglichkeit des GTR vermehrt die Varianten zur Lösung von Aufgaben. Der Schüler muß der jeweiligen Aufgabenstellung entnehmen, ob die Wahl der Lösungsstrategie freisteht (z. B. bei Aufforderungen wie "Ermitteln Sie ....", "Bestimmen Sie ...") oder ob es Einschränkungen gibt, z B. bei Aufforderungen wie "Ermitteln Sie grafisch ..." (Ausschluß der numerischen Werkzeugebene) oder "Berechnen Sie ...", "Überprüfen Sie rechnerisch ..." (Ausschluß der grafischen Werkzeugebene aber Zulassung der numerischen Werkzeugebene einschließlich der Nutzung von Programmen für Berechnungen).

Grundsätzlich sind die Lösungswege nachvollziehbar und in logisch einwandfreier sowie in gut lesbarer Form darzustellen. In der Regel genügt das Aufführen der wesentlichen Schritte zur Lösung (z. B. stichpunktartige Beschreibung; Ansatz, Zwischenergebnisse und Ergebnis). Im Interesse der Nachvollziehbarkeit des Lösungsweges wird mitunter explizit dazu aufgefordert, die durch die verwendeten GTR-Implementationen bestimmten Einzelschritte in Kurzform aufzuführen. Die Aufgabenstellung kann auch eine ausführlichere Darstellung verlangen, etwa detaillierte Angaben der Teilschritte (z. B. bei Aufforderungen wie "Zeigen Sie rechnerisch ...", "Überprüfen Sie rechnerisch ...", "Weisen Sie nach ...") oder eine Textform (z. B. bei Aufforderungen wie "Beschreiben Sie ...", "Erläutern Sie ...", "Verdeutlichen Sie ..."). Nur wenn es im Aufgabentext ausdrücklich angezeigt wird (durch die Aufforderungen "Nennen Sie ...", "Geben Sie ... an"), genügt das Mitteilen des gefundenen Ergebnisses, und es darf auf die Darstellung des Lösungsweges verzichtet werden."

Ich werde in den folgenden Schritten die numerische Werkzeugebene bevorzugen, denn damit wird selbst relativ strengen Formulierungen, wie z. B. "Berechnen Sie" genügt.

Verwenden Sie Ergebnisse entsprechend der möglichen Taschenrechnergenauigkeit. Funktionen wie z. B. solve(), nDerive(), fnInt() bringen höchstens 5 Nachkommastellen. Am Graphen (z. B. mit TRACE) kann man häufig nicht mehr als eine Nachkommastelle ermitteln. Oft sogar noch weniger. Verwenden Sie Funktionen aus dem Calc-Menü können Sie wieder etwas mehr. Runden Sie vor allem mathematisch richtig.

Abbildung 1

Tragen Sie zur Skalierung und Einteilung der x-Achse im WINDOW-Menü auch Teile oder Vielfache von π ein (siehe auch Abbildung 2).

Speichern eines Zahlenwertes in einer Variablen

GTR-Taste: STO
Beispiel 1: 180/π→A oder Ans→B

Das jeweils letzte Ergebnis können Sie in Ihrer weiteren Rechnung mit Ans (2nd+(-)) einsetzen.

Den letzten Rechenbefehl zeigen Sie mit ENTRY (2nd+ENTER) an. Dann können Sie ihn abändern. Wenn Sie in den angezeigten Text etwas einfügen möchten (normalerweise wird Text beim Eingeben überschrieben), verwenden Sie die Tastenkombination INS (2nd+DEL). Der Cursor ändert sich. Sie ihn nun mit einem "weißen" Rechteck blinkend. Im Überschreibmodus blinkt er "schwarz".

Abbildung 2:
Y1=2/X-sin(X)

Ansatz: f(x₀) = 0

Syntax: solve(f(x),x,Startwert) im MATH-Menü

Beispiel 2: solve(Y1,X,6)→ 6,5915 mit Y1=2/X-sin(X)

Hinweise:

• Startwert im Graphen ablesen.

• Auf versteckte Lösungen achten.

• Nicht alle Nullstellen lassen sich ohne weiteres finden. Der Einfluss des Startwertes kann sehr groß sein.
  Gegenbeispiel 3: solve(2/X-sin(X),X,π/2)→bringt keine sinnvolle Lösung aber solve(2/X-sin(X),X,2π)→ 6,5915

Lösen einer Gleichung

Ist auf das Auffinden von Nullstellen zurückzuführen (siehe oben). So wird aus der Gleichung 2/x = sin(x) die Nullstellenberechnung 2/x-sin(x) = 0.

Schnittpunkte zweier Funktionen f(x) und g(x)

Ansatz: Gesucht sind alle Stellen x_S, für die gilt: f(x_S) = g(x_S)

Ist ebenfalls auf das Bestimmen der Nullstellen zurückzuführen: f(x_S) - g(x_S) = 0. Andererseits kann die Differenz d(x) = f(x) - g(x) als Abstandsfunktion gedeutet werden.

Ableitung einer Funktion f(x) an einer Stelle x_S bzw. Anstieg m der Funktion an dieser Stelle

Ansatz: m = f'(x_S)

Syntax: nDerive(f(x), x, x_S)

Beispiel 4: f(x) = 2/x - sin(x) und x_S = 
nDerive(2/X-sin(X),X,π) → 0,7974 oder für Y1=2/X-sin(X)
nDerive(Y1,X,π) → 0,7974

Überprüfung der Berechnung der 1. Ableitung einer Funktion

Ansatz: Vergleich der Funktionswerte zweier Funktionen

Vorgehensweise:

• Eintragen der berechneten Funktion (↑Abbildung 3)

• Berechnung der 1. Ableitung mit GTR (↑Abbildung 3)

• Aufruf der Tabelle und Vergleich der Funktionswerte (↑Abbildung 4)
  Um nur die Funktionen Y2 und Y2 in der Tabelle anzeigen zu lassen, wurde die Darstellung von Y1 ausgeschaltet. Beachten Sie dazu das Gleichheitszeichen. Das Ein- und Ausschalten der Darstellung in der Tabelle wirkt sich auch auf das Anzeigen des Graphen aus.
  Die Funktionswerte sollten in der Tabelle identisch sein. In besonderen Fällen sind Ausnahmen zuzulassen.

Beispiel 5: f(x) = 2/x - sin(x); f'(x) = -2/x² - cos(x)

Tangente t(x): y = mx + n in einem Punkt P(x_P | f(x_P)) des Graphen f(x)

Abbildung 5

• Berechnung des Anstiegs: m = f'(x_P)

• Berechnung des Absolutgliedes n, durch Einsetzen von P in t:
  n = f(x_P) - m  x_P

Beispiel 6: wie oben m = 0,7974 und n: Y1(π)-Ans*π → -1,8684

Da sich dieser Ablauf wiederholt, könnte ein GTR-Programm dazu verwendet werden. Sehen Sie dazu PrgmTangente weiter unten.

Tangente t(x) an den Graphen G der Funktion f(x) durch einen Punkt P(x_P | y_P) und P G¹

Ansatz: Auf der Tangente liegen zwei Punkte, nämlich P und der Schnittpunkt S = t  f. Außerdem gilt S  G. Demzufolge ist ein Gleichungssystem zu lösen:
I: f'(x_S)  x_S + n = f(x_S)
II: f'(x_S)  x_P + n = y_P ² f'(x_S)  (x_P - x_S) = y_P - f(x_S) (Gleichung I)

Beispiel 7: f(x) = 2/x - sin(x) und P(1 | 3)
aus der Ersetzung x_S = S und Gleichung I folgt:
solve(nDerive(Y1(S),S,S)*(1-S)+Y1(S)-3,S,3/2 π) bzw. jetzt sieht man, dass auch ohne Ersetzung solve(nDerive(Y1,X,X)*(1-X)+Y1(X)-3,X,3/2 π) geschrieben werden kann. Es ergibt sich zunächst x_S = 5,0504, der Anstieg m = -0,4100 und abschließend der Schnittpunkt mit der y-Achse n = 3,4100. Beachten Sie in den Bildern die Skalierung der x-Achse mit /2.

PrgmQuadAllg: Lösung quadratischer Gleichungen der Form: ax² + bx + c = 0

Quelltext:

:Prompt A,B,C
:If A=0:Then:Disp "KEINE QUAD. GLG.","EINE LSG.",úC/B
:Else
:(Bò-4AC)/(4Aò)üD
:If D=0:Then:Disp "EINE LSG.",úB/(2A)
:Else
:If D<0:Then:Disp "KEINE LSG."
:Else:"AXò+BX+C"üY€:úB/(2A)üX:Y€(X)üY:X+ðDüF:X-ðDüE::Disp "LSGN. E UND F",E,F,"SCHEITELPKT. X Y",X,Y
:FnOff Y€

Programmlauf (Beispiel 8): Nullstellen der Gleichung 3x² - 5x + 7 = 0 und 3x² - 5x - 7 = 0

Die Variablen E und F stehen für weitere Rechnungen zur Verfügung.

PrgmTangente: Bestimmung der Parameter m und n einer Tangentengleichung t(x): y = mx + n an die Funktion Y1

Quelltext:
:Disp "BERECHNET TAN-","GENTE AN GRAPH","DER FUNKTION Y"
:nDeriv(Y(X),X,X)üM
:Input "WELCHE STELLE?",X
:nDeriv(Y(X),X,X)üM
:Y(X)-M*XüN
:"MX+N"üY€
:Disp "M",M,"N",N

Das Programm berechnet m und n, speichert diese Werte auf den GTR-Variablen M und N und trägt die Tangente für die Darstellung im Graphen auf der Funktion Y0 ein³. Ein Programmlauf erfordert unbedingt, dass die zu untersuchende Funktion in Y1 abgespeichert ist.

Programmlauf für Beispiel 6:

PrgmNaeherun: Nullstellenberechnung per Newtonverfahren, Bisektion, Regula Falsi und mit GTR

Quelltext: gtrNaeh.pdf Download: TI-82; TI-83

Programmlauf (Beispiel 9): Newtonverfahren für f(x) = x/2 - sin(x) und Nullstelle bei 2

Beachten Sie, dass Zwischenergebnisse des Verfahrens in Liste L₆ gespeichert sind. Die Anzeige dieser Liste erhalten Sie, wie im letzten Bild angezeigt, durch Aufruf des +Edit-Menüs.

2. Ableitung einer Funktion f(x) an einer Stelle x_S:

Syntax: nDerive(nDerive(f(x), x, ,x), x, x_S), dabei ist "nDerive(f(x), x, ,x)" die erste Ableitung⁴.

Beispiel 10: f(x)=2/x - sin(x); x_S = 2
nDerive(nDerive(2/x-sin(x), x, ,x), x, 2π) → 0,0161

Extremstellen x_E und Extrempunkte E_Max/Min(x_E | f(x_E)) einer Funktion f(x)

Ansatz: f'(x_E)=0

Syntax: solve(nDerive(f(x), x, x_E), x_E, Startwert)

Beispiel 11: Tiefpunkt von f(x)=2/x - sin(x) in der Nähe von  (siehe Abbildung 2)
Y=2/x-sin(x)
solve(nDerive(Y,X,X),X,π) → 2,0610
Y(Ans → 0,0882

Nachweis der Art der Extremstelle x_E

Ansatz: ;

Syntax: nDerive(nDerive(f(x), x, x), x, x_E)

Beispiel 12: wie Beispiel 11 - ⁵
solve(nDerive(Y,X,X),X,π)üE → 2,0610
Y(Ans → 0,0882
nDerive(nDerive(Y,X,X),X,E → 1,3391  lok. Minimum und E_Min(2,0610 | 0,0882)

Wendestellen x_W und Wendepunkte W(x_W | f(x_W)) einer Funktion f(x)

Ansatz: f''(x_W)=0

Syntax: solve(nDerive(nDerive(f(x), x, x), x, x_W), x_W, Startwert)

Beispiel 13: f(x) = 2/x - sin(x) und 2,0610  x_W  2
Y=2/x-sin(x)
solve(nDerive(nDerive(Y,X,X),X,X),X,π) → 3,2576
Wie oben bereits zu beobachten war, ist die Unterscheidung zwischen x und x_W nicht notwendig. Die Anweisung solve(nDerive(nDerive(Y,X,X),X,W),W,π) → 3,2576 funktioniert natürlich auch.

Nachweis, dass Wendestelle vorliegt (3. Ableitung an einer Stelle)

Ansatz: f'''(x_W)  0

Syntax: nDerive(nDerive(nDerive(f(x), x, x), x, x), x, x_W)

Beispiel 14: ↑Beispiel 13 - führt zur Fehlermeldung "ILLEGAL NEST" - die 3. Ableitung ist mit GTR nicht zu berechnen.

Flächeninhalt unterhalb einer Funktion f(x) in einem vorgegebenem Intervall I [a | b]
(ohne Beachtung der Nullstellen der Funktion)

Abbildung 6: Calc-Menü

Syntax: fnInt(f(x), x, a, b)

Beispiel: f(x)=2/x - sin(x) und I [ | 2]
fnInt(2/X-sin(X),X,π,2π) → 3,3863

Überprüfung der Stammfunktion F(x)

Ansatz (↑Überprüfung der Berechnung der 1. Ableitung einer Funktion - Seite 4)
Dabei wird die Stammfunktion per GTR abgeleitet und mit der Originalfunktion verglichen. Die Berechnung der unbestimmten Integralfunktion ist schwierig.

Beispiel 15: f(x) = 2/x - sin(x); F(x) = 2 ln(x) + cos(x)

von zwei Funktionen f(x) und g(x) begrenzter Flächeninhalt A

Ansatz:

• Schnittpunkten a und b beider Funktionen (↑Abstandsfunktion - Seite 3)

• 

Syntax: abs(fnInt(f(x)-g(x), x, a, b))

Beispiel 16: ↑Beispiel 7 - Seite 5

f(x) = 2/x - sin(x);
g(x) = t(x) mit t(x) ist Tangente an f(x), die in x_S berührt und durch P (1 | 3) geht
x_S = 5,0504, m = -0,4100 und n = 3,4100
Y=2/x-sin(x), Y‚=MX+N und Yƒ=Y‚-Y

Suchen eines Schnittpunktes bei /2: solve(Yƒ,X,π/2)üA → 0,5401

Berechnung des Integrals: abs(fnInt(Yƒ,X,A,5,0504)) → 6,2664

Beachten Sie, dass es noch andere Schnittpunkte der beiden Funktionen gibt. Entsprechend der Aufgabenstellung sind noch weitere Rechnungen notwendig.

Finden der Intervallgrenze u zu einem vorgegebenen Flächeninhalt A

Ansatz: Umformung vonin eine Nullstellenberechnung

Syntax: solve(abs(fnInt(f(x), x, x₁, u))-A, u, Startwert)

Beispiel 17: f(x) = x  (x-5); x₁ = 0; u  ℝ mit 0  u  5 und A = 2

solve(abs(fnInt(X(X-5),X,0,X))-2,X,1) → 0,9577

Extrema des Abstandes zweier Funktionen f(x) und g(x)

Ansatz: d'(x_E) = 0 mit d(x) = |f(x) - g(x)|

Beispiel 18: ↑Beispiel 7 - Seite 5 und ↑Beispiel 16

f(x) = 2/x - sin(x);
g(x) = t(x) mit t(x) ist Tangente an f(x), die in x_S berührt und durch P (1 | 3) geht
x_S = 5,0504, m = -0,4100, n = 3,4100 und 0,5401 < x_E < 5,0504
Y=2/x-sin(x), Y‚=MX+N und Yƒ=abs(Y‚-Y) (Yƒ ist Abstandsfunktion d(x))

solve(nDerive(Yƒ,X,X,X,π/2) → 1,7881

Nachweis der Art des Abstandes ist mit Bild 9 nicht notwendig, kann aber leicht ausgeführt werden:

Kürzester Abstand der Punkte auf einer Kurve K zur Funktion f(x) zum Koordinatenursprung

Ansatz: Abstandsfunktion besser ist jedoch, das Abstandsquadrat zu verwenden d²(x) = x² + f²(x), denn Extrema der einen Funktion sind zugleich auch Extrema der anderen Funktion.

Syntax: solve(nDerive(x² + f²(x), x, x), x, Startwert)

Beispiel: f(x) = 2/x - sin(x) und x > 0

solve(nDerive(XÜ+ YÜ,X,X),X,π/2) → x_E = 1,2137

d(x_E) = 1,4066

1. Programmstart und Auswahl im Hauptmenü:

Abbildung 14

2. Beispiel 19:

Bestimmung des Abstandes einer Geraden zu einer Ebenen

1. Auswahl aus den Menüs (Abb. 14, 15, 16).

2. Eingabe der Geraden in Punkt-Richtung-Form (Abb. 17, 18).

3. Eingabe der Ebene in Punkt-Richtung-Form (Abb. 19, 20 und 21).
   Dabei ist auch die Eingabe von weiteren Rechnungen möglich.

4. Ausgabe der Ergebnisse (Abb. 22).
   Es wurde ein gemeinsamer Schnittpunkt S ermittelt. Dessen Koordinaten werden in einer Liste angezeigt. Leider kann nur die x-Komponente betrachtet werden, deshalb:

5. Kontrolle und weitere Anzeige der Ergebnisse mittels Listen im Menü Stat | Edit (Abb. 23, 24).
   Interpretation der Listen:
   L₁: eingegebene Gerade
   L₂: eingegebene Ebene
   L₃: ??
   L₄: Ergebnis - Schnittpunkt S(5.4, 4.4, 4.4)
   L₆: enthält Normalenvektor L₆(1)..L₆(3) und Richtungsvektoren L₆(4)..L₆(9) der Ebene (siehe VEKTORPRODUKT)

3. Allgemeine Anmerkung:

   1. In Listen werden Punkte, Richtungen, Geraden, Ebenen usw. erfasst. Zur Ergebniserfassung ist es immer möglich, sich diese anzeigen zu lassen. Außerdem können sie zur weiteren Rechnung verwendet werden. Ein Schwierigkeit besteht in der Interpretation der Listen. Natürlich kann anhand der Länge der Listen auf die Art des Inhaltes (Pkt. oder Richtung, Ebene usw.) geschlossen werden. Geraden und Ebenen werden immer in der Punkt-Richtung-Form abgelegt. Was aber konkret vorliegt ist in jedem Unterprogramm unterschiedlich. Hier kann nur unter Verwendung der eingegebenen Größen geschlossen werden. Einige Regeln habe ich trotzdem versucht einzuhalten: Ergebnisse befinden sich in Listen mit kleinen Nummern. In Liste 6 sind keine Ergebnisse abgespeichert. Liste 6 dient zur Speicherung von Zwischenergebnissen und wird zumeist (nach der Eingabe) vom Programm geändert.

   2. Die Berechnung des Durchstoßpunktes einer Geraden durch eine beliebige Ebene ist ein Sonderfall, des Abstandsproblems Gerade - Ebene. Durchstoßpunkte werden also dort mit ermittelt.

   3. Genau so verhält es sich mit der Bestimmung der Schnittpunkte zweier Geraden. Sie sind ein Spezialfall bei der Berechnung des Abstandes der Geraden und werden dort mit angegeben.

4. Beispiel 20:

Berechnungen am Dreieck

1. Auswahl aus dem Hauptmenü (Abb. 14)

2. Eingabe der Koordinaten der Eckpunkte. Werden die Punkte in der Reihenfolge A, B, C eingegeben, so können die Längen und Winkel auch in dieser Reihenfolge interpretiert werden.

3. Ausgabe der Ergebnisse (Abb. 25)

4. Interpretation der Listen (Abb. 26)
   L₁: Längen der Seiten in der Reihenfolge a, b, c
   L₂: Innenwinkel in der Reihenfolge alpha, beta, gamma
   L₃: ??
   Anmerkung: Bei der Ausgabe der Ergebnisse ( 25) wird auf eine Ausnahme hingewiesen: in L₁(4) wird zusätzlich der Flächeninhalt des Dreiecks abgespeichert.

5. Beispiel 21:

Bestimmung des Abstandes zweier Geraden

1. Auswahl in den Menüs und Eingabe der Geraden

2. Ausgabe des Ergebnisses (Abb. 27) - der Abstand beträgt: 8.08

3. Interpretation der Listen (Abb. 28, 29)
   L₁: ??
   L₂: Fußpunkt der ersten Gerade
   L₃: Fußpunkt der zweiten Gerade
   L₄: erste Gerade
   L₅: zweite Gerade
   L₆: ??

4. weitere Rechnung zum Beispiel:
   bei Eingabe von sum((L‚-Lƒ)ò ergibt sich das Abstandsquadrat 65.3 oder
   bei Eingabe von L‚-Lƒ ergibt sich der Vektor {-4.829, -4.829, -4.319} als Richtungsvektor von einem Lotfußpunkt zum anderen.

• Starten des Programms
  (Abbildung 31)

• Ausführen des Programmteils Dreieck (Abbildung 32)

Abbildung 31

Abbildung 32

• Eingabe der Punkte A, B und C
  (Abbildung 33, 34)

Abbildung 33

Abbildung 34

• Nach kurzer Berechnung aller relevanter Daten:

• Auswahl der interessierenden Angaben

  • Beispiel 25: Seitenlänge
    In der Ausgabe wird angezeigt, in welcher Liste die Angaben gespeichert wurden. Zumeist sind das die Listen 6 und 5. In Liste 1 stehen, wie in Tabelle 1 beschrieben, alle Ergebnisse.
    Sollten die Listen im Display nicht ganz zu lesen sein, können die Listen im Stat - Edit - Menü konsultiert werden. Dazu weiter unten mehr.

  • Beispiel 26: Winkel

Abbildung 35

Abbildung 37

• Beispiel 27: Umkreis
  Wie in Abbildung 39 und anderen zu sehen ist, wird immer auch das Quadrat der Längen angegeben. Damit können gegebenenfalls die exakteren Werte verwendet werden.
  Das Programm GEOMETRI.82G sollte so sicher sein, dass Fälle in denen keine Lösungen möglich sind, automatisch erkennt und anzeigt. In diesen Fällen sollte der Benutzer nochmals die eingegebenen Werte überprüfen bzw. über den Sinn der Berechnung nachdenken.

Abbildung 39

Abbildung 41

• Übersicht über das vollständige Menü
  Anmerkungen:

  • Inkreis im Moment noch unfertig (liefert falsche Ergebnisse)

  • Ebenengeleichung noch unfertig (liefert keine Ergebnisse)

Abbildung 42

Abbildung 43

• Das Beenden der Anzeige der Ergebnisse ist auf zweierlei Weisen möglich. Sie kehren in´s Display zurück.
  Danach können die gespeicherten Listen kontrolliert werden. Da sind die vollständigen Werte zu sehen.

Abbildung 44

Abbildung 45

• Die folgenden Listen gehören zur Berechnung der Seitenlängen. Um die Listen zu sehen, wählen Sie  + Edit. Wie auch in Abbildung 46 zu erkennen ist, enthält L₆ die Seitenlängen und L₅ deren Quadrate.

Abbildung 46

Abbildung 47

• Sollte die Liste L₁ nicht beschädigt sein, ist es möglich, die Anzeige der Ergebnisse fortzusetzen ohne die Eckpunkte nochmals einzugeben.
  Starten Sie dazu einfach das Programm prgmZOUTDREI.

Abbildung 48

Abbildung 49