Abiturähnliche Aufgaben zu Geometrie/Algebra und Stochastik Gymnasium - Mathematik

Inhaltsverzeichnis

Vorbemerkungen
Abiturähnliche Aufgaben zu Geometrie/Algebra und Stochastik für das Leistungskursfach
Aufgabe zu grundlegenden Problemen
Aufgabenstellung
Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab
Aufgabe zu Problemen mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad
Aufgabenstellung
Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab
Abiturähnliche Aufgaben zur Stochastik für das Leistungskursfach
Beispiel 1
Aufgabenstellung
Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab
Beispiel 2
Aufgabenstellung
Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab
Abiturähnliche Aufgaben zur Geometrie/Algebra für das Grundkursfach
Aufgabe zu grundlegenden Problemen
Aufgabenstellung
Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab
Aufgaben zu Problemen mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad
Aufgabenstellung
Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab
Abiturähnliche Aufgaben zur Stochastik für das Grundkursfach
Beispiel 1
Aufgabenstellung
Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab
Beispiel 2
Aufgabenstellung

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

Vorbemerkungen

Die vorliegende Broschüre knüpft an die im September 1997 veröffentlichte Handreichung „Abiturähnliche Aufgaben zur Analysis für den Mathematikunterricht an allgemeinbildenden Gymnasien, Abendgymnasien und Kollegs im Freistaat Sachsen“ an.

Es werden abiturähnliche Aufgaben für die Prüfungsteile Geometrie/Algebra und Stochastik der zentralen schriftlichen Abiturprüfung Mathematik unter dem Aspekt der Zulassung des Hilfsmittels grafikfähiger Taschenrechner (GTR) vorgestellt. Im Prüfungsteil Geometrie/Algebra wird dabei zwischen Aufgaben zu grundlegender Problemen (analog Teil B der Abiturprüfung) und Aufgaben zu Problemen mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad (analog Teil D2 der Abiturprüfung) unterschieden.

Die Nutzungsmöglichkeit des GTR vermehrt die Varianten zur Lösung von Aufgaben. Der Schüler muß der jeweiligen Aufgabenstellung entnehmen, ob die Wahl der Lösungsstrategie freisteht (z. B. bei Aufforderungen wie "Ermitteln Sie ....", "Bestimmen Sie ...") oder ob es Einschränkungen gibt, z B. bei Aufforderungen wie „Ermitteln Sie grafisch ...“ (Ausschluß der numerischen Werkzeugebene) oder "Berechnen Sie ...", "Überprüfen Sie rechnerisch ..." (Ausschluß der grafischen Werkzeugebene aber Zulassung der numerischen Werkzeugebene einschließlich der Nutzung von Programmen für Berechnungen).

Grundsätzlich sind die Lösungswege nachvollziehbar und in logisch einwandfreier sowie in gut lesbarer Form darzustellen. In der Regel genügt das Aufführen der wesentlichen Schritte zur Lösung (z. B. stichpunktartige Beschreibung; Ansatz, Zwischenergebnisse und Ergebnis). Im Interesse der Nachvollziehbarkeit des Lösungsweges wird mitunter explizit dazu aufgefordert, die durch die verwendeten GTR-Implementationen bestimmten Einzelschritte in Kurzform aufzuführen. Die Aufgabenstellung kann auch eine ausführlichere Darstellung verlangen, etwa detaillierte Angaben der Teilschritte (z. B. bei Aufforderungen wie „Zeigen Sie rechnerisch ...“, "Überprüfen Sie rechnerisch ...“, „Weisen Sie nach ...“) oder eine Textform (z. B. bei Aufforderungen wie „Beschreiben Sie ...“, "Erläutern Sie ...", "Verdeutlichen Sie ...“). Nur wenn es im Aufgabentext ausdrücklich angezeigt wird (durch die Aufforderungen "Nennen Sie ...“, "Geben Sie ... an"), genügt das Mitteilen des gefundenen Ergebnisses, und es darf auf die Darstellung des Lösungsweges verzichtet werden.

Im Interesse der Chancengleichheit der Prüfungsteilnehmer bei Verwendung unterschiedlicher GTR-Typen in der Abiturprüfung wurden in der o. g. Handreichung zum Prüfungsteil Analysis GTR-Programme veröffentlicht, die auch in den Prüfungsteilen Geometrie/Algebra und Stochastik einsetzbar sind. Die Notwendigkeit der Veröffentlichung weiterer GTR-Programme zu den letztgenannten Prüfungsteilen erscheint den Autoren nicht gegeben Es wird dem Fachlehrer empfohlen, GTR-Programme zur Effektivierung von Routinearbeiten im Unterricht zu verwenden, wie z. B. Programme zur Bestimmung des Abstandes zweier Punkte, des Winkels zwischen zwei Vektoren, der Summenfunktion der Binomialverteilung, der Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung. In der Abiturprüfung ist die Nutzung dieser oder anderer GTR-Programme durch die Prüfungsteilnehmer zulässig.

Die in der Handreichung vorgestellten Aufgaben sollen Anregungen für die Fortsetzung der Diskussion in den Fachkonferenzen der Gymnasien geben sowie die Vorbereitung und Durchführung des Unterrichts unterstützen.

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Leistungskurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Abiturähnliche Aufgaben zu Geometrie/Algebra und Stochastik

Aufgabe zu grundlegenden Problemen

Aufgabenstellung –vorherige Aufgabe - Ergebnisse - nächste Aufgabe

In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt Q (4, 2, -8) und die Gerade h durch VEC x = (STACK { 1 # 5 # 1 })`+`t`(stack {4 # 1 # -1})(tElement reeller Zahlen) gegeben.

a) Weisen Sie nach, daß der Punkt Q nicht auf der Geraden h liegt.
Auf der Geraden h liegen die Punkte U und V, wobei das Dreieck QUV gleichseitig ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte U und V.

Erreichbare BE-Anzahl 5

b) Ermitteln Sie den Abstand des Punktes Q von der Geraden h unter Verwendung folgender Lösungsidee:
„Der Vektor vom Punkt Q zu einem beliebigen Punkt P auf der Geraden h bildet mit dem Richtungsvektor vec a~=~( stack {4#1#-1}) der Geraden h einen Winkel a. Bewegt sich der Punkt P längs der Geraden h, dann verändert sich die Größe des Winkels a. Genau dann, wenn der Punkt P bei seiner Bewegung die kürzeste Entfernung vom Punkt Q besitzt (er befindet sich dann im Fußpunkt F des Lotes vom Punkt Q auf die Gerade h), ist a ein rechter Winkel. Aus dieser Orthogonalitätsbeziehung für die beiden Vektoren lassen sich die Koordinaten des Punktes F bestimmen, und mit diesen ergibt sich der gesuchte Abstand aus der Entfernung der Punkte Q und F.“

Erreichbare BE-Anzahl: 3

c) Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q von der Geraden h auf einem anderen Weg als in der Teilaufgabe b).

Erreichbare BE-Anzahl: 3

Die in Teilaufgabe b) vorgestellte Lösungsidee läßt sich auf die Bestimmung des Abstandes
zweier windschiefer Geraden übertragen.
Durch VEC x = (STACK { 9 # -1 # 0 })`+`s`(stack {-4 # 1 #-1}) (sElement reeller Zahlen) ist eine Gerade g1 und durch VEC x = (STACK { -1 # 0 # 13 })`+`r`(stack {2 # 1 #-2}) (rElement reeller Zahlen) ist eine Gerade g2 bestimmt, die windschief zur Geraden gl verläuft.

d) Modifizieren Sie die in Teilaufgabe b) vorgestellte Lösungsidee so, daß sich auf analogem Wege der Abstand zweier windschiefer Geraden bestimmen läßt (Stellen Sie Ihre Überlegungen in Kurzform dar).
Berechnen Sie auf dieser Grundlage den Abstand der Geraden gl und g2.

Erreichbare BE-Anzahl: 4

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Leistungskurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

a) Nachweis
Ansatz für Koordinaten der Punkte
Berücksichtigung der Bedingung
Werte für den Parameter t
Koordinaten der Punkte

Möglicher Lösungsweg für die Bestimmung der Koordinaten von U und V - Variante 1:

Aus der Bedingung der Aufgabe folgt, daß die Vektoren vec QU und vec QV mit dem Richtungsvektor vec a der Geraden h die Winkel 120° bzw. 60° bilden, o. B. d. A. sei U der Punkt auf h, für den der Vektor vec QU mit vec a den Winkel 120° bildet.

vec QU~=~(stack {4t_u`-`3#t_u`+`3#-t_u`+`9})

vec QU * vec a ~=~abs vec QU`*`abs vec a`*`cos(120°)

18`(t_u`-`1)~=~sqrt {18`t_u^2`-36``t_u`+99}`*``sqrt 18`*`(- {1 over 2 })

t_u~=~`{{2`-`sqrt 6} over 2} ~=~-0,22

U (0,12 | 4,78 | 1,22) (Näherungswerte)

Analog ergeben sich die Koordinaten von V.

vec QV~=~(stack {4t_v`-`3#t_v`+`3#-t_v`+`9})

vec QV * vec a ~=~abs vec QV`*`abs vec a`*`COS(60°)

t_v~=~`{{2`+`sqrt 6} over 2} ~=~2,22

V (9,88 | 7,22 | -1,22) (Näherungswerte)

Für die Näherungswerte der Koordinaten der Punkte U und V gilt:
U (0,12 | 4,78 | 1,22) und V (9,88 | 7,22 | -1,22) bzw.
U (9,88 | 7,22 | -1,22) und V (0,12 | 4,78 | 1,22).

Möglicher Lösungsweg für die Bestimmung der Koordinaten von U und V - Variante 1:

Der Schnittwinkel der Geraden h und i(QU) bzw. h und j(QV) ist jeweils 60° , also gilt:

cos(60°) ~=   { {{{ alignm abs { ( stack {4#1#-1})`*`(stack {4t`-`3# t`+`3#-t`+`9} ) } } over {sqrt 18`*`sqrt{(4t`-`3)^2`+`(t`+`3)^2`+`(-t`+`9)^2}}}}}

t2 - 2t - 0,5 = 0

t_1~=~{{2`-`sqrt 6} over 2}~=~-0,22

t_2~=~{{2`+`sqrt 6} over 2}~=~2,22

Die Ortsvektoren der gesuchten Punkte sind (0,12 | 4,78 | 1,22) und (9,88 | 7,22 | 1,22).

Hinweis: Ermittlung der Werte des Parameters t kann rechnerisch unter Anschluß der Scheinlösung oder grafisch mit dem GTR erfolgen.

5 BE

b) Ansatz für Orthogonalität der Vektoren
Koordinaten von F
Abstand

Möglicher Lösungsweg:

0 = vec QFvec a, da vec QF^vec a

0~=~ (stack {4t_F`-`3#t_F`+`3#-t_F`-`9})(stack {4#1#-1})~=~18`t_F`-`18

tF = 1 Þ F (5 | 6 | 0)

d_Qh ~=~ abs vec QF ~=~ sqrt {1^2`+`4^2`+`8^2}~=~9

3 BE

c) Ansatz für Abstand
Zwischenergebnis
Abstand

Möglicher Lösungsweg - Variante 1:

Q Ï h Þ abs vec QP= I (t) > 0 und dQh = IMIN (tE)

abs vec QP~=~I`(t)~=~sqrt {(4t`-`3)^2`+`(t`+`3)^2`+`(-t`+`9)^2}~=~sqrt{18t^2`-`36t`+`99}

Bestimmung des Minimums der Zielfunktion

Möglicher Lösungsweg - Variante 2:

R sei ein beliebiger Punkt in einer Ebene E, die den Punkt Q enthält und senk recht zu h verläuft.

0 = vec QRvec a, da vec QR^vec a

0~=~ (stack {4t_F`-`3#t_F`+`3#-t_F`-`9})(stack {4#1#-1})~=~18`t_F`-`18 Þ -4x - y + z + 26 = 0

F = E Ç h: -4 (1 + 4 tF) - (5 + tF) + (1 - tF) + 26 = 0

tF = 1 Þ F (5 | 6 | 0)

d_Qh ~=~ abs vec QF ~=~ sqrt {1^2`+`4^2`+`8^2}~=~9

3 BE

d) Darstellung der Lösungsidee in Kurzform (hierfür 2 BE)
Ansatz für Abstand
Abstand

Möglicher Lösungsweg:

Darstellung der Lösungsidee in Kurzform:

Berechnung des Abstandes:

0~=~ (stack { -4 # 1 # -1})(stack {-10`+`2 r_d`+`4 s_d # 1`+`r_d`-`s_d # 13`-`2 r_d`-`s_d}) Þ –9 rd - 18 sd + 54 = 0

0~=~ (stack { 2 # 1 # -2})(stack {-10`+`2 r_d`+`4 s_d # 1`+`r_d`-`s_d # 13`-`2 r_d`-`s_d}) Þ 9 rd + 9 sd - 45 = 0

Aus den beiden Gleichungen folgt rd = 4; sd = 1 Þ

d (g_1;` g_2)~=~abs vec {P_1 P_2}~=~ abs (stack {-10`+`2 r_d`+`4 s_d # 1`+`r_d`-`s_d # 13`-`2 r_d`-`s_d})~=~sqrt {2^2`+`4^2`+`4^2}~=~6

4 BE

15 BE

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Leistungskurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Aufgabe zu Problemen mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad

Aufgabenstellung vorherige Aufgabe - Ergebnisse - nächste Aufgabe

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen El, E2 und E3 gegeben durch

E1: x - 21y - 3z = 150,

E2: 2x + 3y - 6 z = 15,

E3: 13x - 3y - 9z = 90.

Die Ebenen E1, E2 und E3 sowie die y-z-Koordinatenebene begrenzen eine Pyramide ABCD, deren Begrenzungsfläche ABC in der y-z-Koordinatenebene liegt.

a) Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide sowie das Volumen der Pyramide.

Erreichbare BE-Anzahl: 4

b) Dem Umkreis der in der y-z-Koordinatenebene liegenden Seitenfläche der Pyramide ist ein gleichschenkliges Dreieck so umschrieben, daß ein Eckpunkt dieses Dreiecks mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt.
Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden vom Koordinatenursprung verschiedenen Eckpunkte dieses Dreiecks.

Erreichbare BE-Anzahl: 6

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Leistungskurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


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Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

a) Ansatz für Koordinaten eines Eckpunktes
Koordinaten aller Eckpunkte
Ansatz für Volumen
Volumen: 60

Möglicher Lösungsweg:

Die y-z-Koordinatenebene E4 ist gegeben durch x = 0.
Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide:
A Ç E1 Ç E2 Ç E4 : A (0 | 7 | 1)
B Ç E2 Ç E3 Ç E4 : B (0 | l5 | 5)
C Ç E1 Ç E3 Ç E4 : C (0 | 6 | 8)
D Ç E1 Ç E2 Ç E3 : D (6 | 7 | 1)

Hinweise: Die Bezeichnung der Punkte A, B und C erfolgt o. B. d. A. Die Koordinaten der Punkte können schnell mit Hilfe des GTR als Lösungen entsprechender Gleichungssysteme gewonnen werden

Wird zur Volumenberechnung der Pyramide das Dreieck ABC als Grundfläche ausgewählt, dann gibt der Betrag der x-Koordinate des Punktes D die Höhe der Pyramide an, da die gewählte Grundfläche in der y-z-Koordinatenebene liegt.

V = 1/3 ADABC |xd|: ADABC = ½ |7 (5 - 8) + 15 (8 - 1) + 6 (1 - 5)| = 30: V = 60

Hinweis: Die Berechnung des Flächeninhaltes der Grundfläche oder des Volumens der Pyramide kann auch mittels GTR-Programmen erfolgen.

4 BE

b) Ansatz für Umkreismittelpunkt
Gleichung des Umkreises: (y - 10)2 + (z - 5)2 = 25
Ansatz für Tangentengleichungen durch den Koordinatenursprung
Tangentengleichungen:
t1: z = 0 und t2: z = 4y
Gleichung der dritten Tangente: t3: z = -2y + 25 + 5Ö5
Koordinaten der Punkte:
P = t1 Ç t3 : P~(stack {0 # {25 `+ `5 `sqrt 5} over 2# 0}) Q = t2 Ç t3 : Q~(stack {0 # {15 `+ `3 `sqrt 5} over 2# 10`+`2`sqrt 5})

6 BE

10 BE

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Leistungskurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


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Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


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Ergebnisse

Abiturähnliche Aufgaben zur Stochastik für das Leistungskursfach

Beispiel 1

Aufgabenstellung vorherige Aufgabe - Ergebnisse - nächste Aufgabe

Eine Telefongesellschaft rüstet die Telefonanschlüsse ihrer Kunden um. Dazu werden Stecker benutzt, deren Ausschußwahrscheinlichkeit 0,04 beträgt.

a) Ein Kontrolleur entnimmt der laufenden Produktion 20 Stecker.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Ereignis A: Kein Stecker ist Ausschuß.
Ereignis B: Höchstens zwei Stecker sind Ausschuß.
Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Ausschußstücke.

Erreichbare BE-Anzahl: 3

b) In einer Großstadt verfügen bereits 15% der Haushalte über einen ISDN-Anschluß. Die Firma läßt in dieser Stadt an 3 000 zufällig ausgewählte Haushalte Werbezettel für diese Anschlüsse verteilen.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür daß wenigstens 2 500 Werbezettel an Haushalte verteilt werden, die noch keinen ISDN-Anschluß besitzen.

Erreichbare BE-Anzahl: 3

Bei digitaler Datenübertragung kann die kleinste Informationseinheit (Bit) nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Die Wahrscheinlichkeit für richtiges Übertragen eines Bits sei p. Bei einem Übertragungsfehler wird der jeweils andere Wert übertragen. Übertragungsfehler treten unabhängig voneinander auf.

Um Übertragungsfehler möglichst auszuschließen, wird entweder jedes Bit dreimal (Variante A) oder fünfmal (Variante B) nacheinander übertragen.

Das Empfangsgerät ordnet jedem Bit den Wert zu, der am häufigsten in der Dreier bzw. Fünfergruppe auftritt.

a) Ermitteln Sie für beide Varianten die Wahrscheinlichkeiten, mit der ein Bit am Empfangsgerät richtig erkannt wird, falls p = 0,97 ist.
Ermitteln Sie in Abhängigkeit von p die günstigste Variante zur Fehlervermeidung bei der Datenübertragung.
Geben Sie die Werte für p an, für die sich nur eine einfache DatenÜbertragung (ohne Wiederholung) empfiehlt.

Erreichbare BE-Anzahl: 4

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Leistungskurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


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Ergebnisse

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Ergebnisse

Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

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Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

a) Wahrscheinlichkeit P(A): » 0,4420
Wahrscheinlichkeit P(B): » 0,9561
Erwartungswert: 0,8

3 BE

b) Einführung einer binomialverteilten Zufallsgröße und Nachweis, daß bei Anwendung der Näherungsformel von de Moivre-Laplace lediglich eine kleine Abweichung vom genauen Wert zu erwarten ist.
Ansatz mit Näherungsformel
Wahrscheinlichkeit: » 0,9953

Hinweis: Bei Anwendung der Näherungsformel mit Berücksichtigung des Korrekturgliedes ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von » 0,9951.

3 BE

c) Wahrscheinlichkeit für Variante A: » 0,9974
Wahrscheinlichkeit für Variante B: » 0,9997

Möglicher Lösungsweg zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten - Variante A:

Z3 ... Anzahl der richtig übertragenen Bit in einer Dreiergruppe

Z3 ist binomialverteilt mit n = 3 und p = 0,97.

Ein Bit wird richtig erkannt, wenn in der Dreiergruppe drei oder zwei richtige Übertragungen erfolgten.

P(Z3 > 2) = 0,973 + 3 * 0,972 * 0,03 » 0,9974

Variante B:

Z5 ... Anzahl der richtig übertragenen Bit in einer Fünfergruppe

Z5 ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,97.

Ein Bit wird richtig erkannt, wenn in der Fünfergruppe fünf, vier oder drei richtige Übertragungen erfolgten.

P(Z5 > 3) = 0,975 + 5 * 0,974 * 0,03 + 10 * 0,973 * 0,032 » 0,9997

günstigste Variante der Datenübertragung in Abhängigkeit von p:

Für 0 < p < 0,5 ist die Wahrscheinlichkeit der fehlerfreien Übertragung eines Bits nach Variante A größer als nach Variante B, für 0,5 < p < 1 ist Variante B günstiger als Variante A.

Möglicher Lösungsweg für den Vergleich der Wahrscheinlichkeiten.

P(Z3 > 2) = p3 + 3 * p2 * (1 - p)

P(Z5 > 3) = p5 + 5 * p4 * (1 - p) + 10 * p3 * (1 - p)2

Lösungsmöglichkeit 1

Die Graphen der Funktionen Y1= X3 +3*X2 *(l-X) und Y2=X5+5*X4*(l-X)+10*X3*(l-X)2 werden mit Hilfe des GTR in einem geeigneten Darstellungsbereich gezeichnet (0 £ X £ l; 0 £ Y £ 1). Die Schnittstelle 0,5 der Graphen wird mit dem Intersection-Befehl des GTR ermittelt. Aus dem Verlauf der Graphen folgt die Lösung des Problems.

Lösungsmöglichkeit 2

Zunächst werden alle Stellen p im Intervall 0 < p < 1 gesucht, für die Variante A und Variante B die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

p5 + 5 * p4 * (1 - p) + 10 * p3 * (1 - p)2 = p3 + 3 * p2 * (1 - p)

p2 * (6 * p3 - 15 * p2 + 12 * p - 3) = 0

Unter Nutzung des GTR zur grafischen oder numerischen Lösung der Gleichung im Variablengrundbereich erhält man p = 015. Die Lösung des Problems ergibt sich nach Berechnung und Vergleich der Wahrscheinlichkeiten für die Varianten A und B in den Teilintervallen 0 < p < 0,5 bzw. 0,5 < p < 1.

Werte für p: Keine Mehrfachübertragung ist zu empfehlen, wenn p £ 0,5 gilt.

Möglicher Lösungsweg für die Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten:

Grafische Lösung durch Vergleich der o. g. Graphen Yl und Y2 mit dem Graphen von Y3=X oder
rechnerische Lösung durch Lösen der Gleichungen P (Z3 ³ 2) = p und P (Z5 ³ 3) = p sowie Berechnung und Vergleich von Wahrscheinlichkeiten in den Teilintervallen.

4 BE

10 BE

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Leistungskurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


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Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


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Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Beispiel 2

Aufgabenstellung vorherige Aufgabe - Ergebnisse - nächste Aufgabe

In einer Stadt wird alljährlich ein Volksfest durchgeführt.

a) Zum Volksfest haben sich 60 % männliche und 40 % weibliche Gäste versammelt. Als erstes Getränk bestellen erfahrungsgemäß von den männlichen Gästen 70 % Bier, 10 % Wein und der Rest alkoholfreie Getränke sowie von den weiblichen Gästen 50 % Bier, 20 % Wein und der Rest alkoholfreie Getränke.
Ein Gast wählt bei seiner ersten Bestellung ein alkoholfreies Getränk. Ein Kellner (der nicht weiß, wer das Getränk bestellt hat) wettet mit einer Kollegin (die ebenfalls nicht weiß, wer das Getränk bestellt hat), daß das Getränk von einer Frau bestellt wurde.
Ermitteln Sie die Gewinnchancen des Kellners unter der Annahme, daß die genannten Erfahrungswerte für diesen Tag gelten.

An einem Tisch nimmt eine Gruppe von 21 Frauen Platz. Am Tresen stehen 6 Gläser Bier bereit.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen diese 6 Gläser Bier aus, wenn jede der 21 Frauen genau ein Glas eines Getränks bestellt?

Erreichbare BE-Anzahl 4

b) Die Biergläser wurden von einer Firma der Stadt für das Fest angefertigt. Dabei wurden in jedem Kasten 20 Gläser geliefert und so gekennzeichnet, da~ jedes Glas genau einem Kasten zugeordnet werden kann.
Die Rückgabewahrscheinlichkeit eines Glases wird mit 0,9 angenommen.
Wie hoch muß bei einem Einkaufspreis von 8,50 DM pro Glas mindestens der Pfandbetrag sein, wenn der Gastwirt keinen Verlust machen will?

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Ereignis A: Von einer Kiste werden mehr als 3 Gläser nicht zurückgegeben.
Ereignis B. Von 15 Kisten werden mehr als 35 Gläser nicht zurückgegeben.
Ereignis C: Von mindestens einer von 15 Kisten kommen alle Gläser zurück.

Erreichbare BE-Anzahl: 6

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Leistungskurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

a) Ansatz für Gewinnchance
Gewinnchance: 50 %
Ansatz für Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit: » 0,0392

Möglicher Lösungsweg:

Ereignis M: Es handelt sich um einen männlichen Gast.
Ereignis F: Es handelt sich um einen weiblichen Gast.
Ereignis B: Der Gast trinkt Bier.
Ereignis W: Der Gast trinkt Wein.
Ereignis A: Der Gast trinkt ein alkoholfreies Getränk.

P (M) = 0,6; P (F) = 0,4
PM (B) = 0,7; PM (W) = 0,1; PM (A) = 0,2
PF (B) = 0,5; PF (W) = 0,2; PF (A) = 0,3

P_A`(F)~=~{P`(F AND A)} over {P`(A)}~=~{P`(F)`P_F`(A)} over {P`(M)`P_M`(A)`+`P`(F)`P_F`(`A`)}

P_A`(F)~=~{0,4`0,3} over {0,6`0,2`+`0,4`0,3}~=~0,5

Die Gewinnchancen des Kellners betragen 50 %.

Y ... Anzahl der Frauen, die Bier bestellen

Y ist binomialverteilt mit den Parametern n = 21 und p = 0,5.

P (Y £ 6) » 0,0392

Die bereitstehenden Biergläser reichen nur mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 4 %.

Hinweis:

Die Summenfunktion der Binomialverteilung ist für n = 21 nicht tabelliert. Die Schüler können das Ergebnis auf unterschiedlichen Wegen finden, z. B.

4 BE

b) Mindestpfandbetrag: 0,85 DM --> Das steht zumindest in den offiziellen Lösungsvorschlägen. Da der Pfand zurückgezahlt wird, ist für jedes Glas ein Pfand im Einkaufswert zu erheben - oder ein Aufschlag von 0,85 DM für jedes verkaufte Glas Bier. Für den Hinweis - vielen Dank an die Schüler von und an Barbara Schuster.
Wahrscheinlichkeit P(A): » 0,1330
Ansatz für P(B)
Wahrscheinlichkeit P(B): » 0,1453
Ansatz für P(C)
Wahrscheinlichkeit P(C): » 0,8569

Möglicher Lösungsweg:

V ... Verlust in DM

Ereignis

keine Glasrückgabe

Glasrückgabe

v

8,5

0

P (V = v)

0,1

0,9



E (V) = 8,50 * 0,1 + 0 * 0,9 = 0,85

Um den zu erwartenden Verlust auszugleichen, muß der Gastwirt einen Pfandbetrag von mindestens 0,85 DM pro Glas verlangen.

ZA ... Anzahl der nicht zurückgegebenen Gläser unter der Bedingung A
ZA ist binomialverteilt mit den Parametern n = 20 und p = 0,1.
P (A) = P (ZA > 3) = 1 - P (ZA < 3) » 0,1330

ZB ... Anzahl der nicht zurückgegebenen Gläser unter der Bedingung B
ZB ist binomialverteilt mit den Parametern n = 300 und p = 0,1.

Variante 1: Nutzung eines GTR-Programmes

P (B) = P (ZB > 35) = 1 - P (ZB £ 35)

P (B) » 1 - 0,8547 = 0,1453

Variante 2: Arbeit mit Näherungsformel und Tabelle

P (B) = P (ZB > 35) = 1 - P (ZB £ 35)

Wegen n * p * (1 - p) = 27 > 9 ist zu erwarten, daß die Anwendung der Näherungsformel von DE MOIVRE-LAPLACE nur zu kleinen Abweichungen vom genauen Wert führt.

P (B) » 1 - F( {35`-`30} over sqrt 27)» 1 - F (0.96) » 0,1685

Hinweis: Bei Anwendung der Näherungsformel mit Berücksichtigung des Korrekturgliedes ergibt sich P(B) » 0,1446.

ZC ... Anzahl der Kisten, bei denen alle Gläser zurückgegeben werden
ZC ist binomialverteilt mit den Parametern n = 15 und p = 0,920.
P (C) = P (ZC ³ 1) = 1 - P (ZC = 0) » 0,8569

6 BE

10 BE

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Leistungskurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Ergebnisse

Abiturähnliche Aufgaben zur Geometrie/Algebra für das Grundkursfach

Aufgabe zu grundlegenden Problemen

Aufgabenstellung vorherige Aufgabe - Ergebnisse - nächste Aufgabe

Rahmen1 In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O wird ein schiefes dreiseitiges Prisma OACDEG durch die Vektoren vec OA= (3 | 0 | 0) , vec OC= (0 | 4 | 0) und vec OD= (0 | 2 | 4) aufgespannt (siehe Skizze). Es soll zu einem vierseitigen Prisma mit dem Rechteck OABC als Grundfläche und dem Rechteck DEFG als Deckfläche ergänzt werden.

a) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte B, E, F und G.
Zeichnen Sie ein Schrägbild des vierseitigen Prismas in ein Koordinatensystem.

Erreichbare BE-Anzahl: 4

Es sei M der Mittelpunkt der Strecke OVERLINE  OD und g eine Gerade, auf der die Seitenhalbierende des Dreiecks ACM durch den Eckpunkt A liegt.

b) Untersuchen Sie rechnerisch die Art des Dreiecks ACM bezüglich der Einteilung nach Seiten und nach Winkeln.
Geben Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ACM an.

Erreichbare BE-Anzahl. 5

c) Bestimmen Sie den Durchstoßpunkt der Geraden g durch die y-z-Koordinatenebene

Erreichbare BE-Anzahl: 2

d) Auf der Geraden durch die Punkte E und G gibt es einen Punkt P derart, daß das Dreieck ACP ein gleichschenkliges Dreieck mit der Strecke A-C als Basis ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P.

Erreichbare BE-Anzahl: 4

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Leistungskurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


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Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4


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Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

a) Koordinaten zweier Punkte
Koordinaten aller Punkte: B (3 | 4 | 0), E(3 | 2 | 4), F(3 | 6 | 4), G (0 | 6 | 4)
Zeichnung (hierfür 2 BE)

4 BE

b) Koordinaten von M: M (1,5 | 4 | 4)
Längen der Seiten: OVERLINE  AC= 5; OVERLINE  AM= 5,85; OVERLINE  CM= 4,27
Schlußfolgerung: Das Dreieck ist unregelmäßig.
Aussage zu mindestens einem Innenwinkel und Schlußfolgerung

Möglicher Lösungsweg zur Einteilung des Dreiecks nach Winkeln:

Betrachtung zum Gegenwinkel der größten Seite

vec  CA * vec CM = 4,5

vec  CA * vec CM=abs vec  CA *abs vec CM* cos Ð MCA > 0 Þ Winkel MCA ist spitzer Winkel
Das Dreieck ACM ist spitzwinklig, da sein größter Innenwinkel ein spitzer Winkel ist.

Flächeninhalt: » 10,44

Hinweis: Für die Bestimmung des Abstandes zweier Punkte und des Winkels zwischen zwei Vektoren eignen sich entsprechende GTR-Programme.

5 BE

c) Gleichung der Geraden g: VEC x = (STACK { 3 # 0 # 0 })`+`r`(stack {-2,25 # 4 #2}) (rElement reeller Zahlen)
Durchstoßpunkt S: S (0 | 16/3 | 8/3)

2 BE

d) Gleichung der Geraden h: VEC x = (STACK { 3 # 2 # 4 })`+`t`(stack {-3 # 4 #0}) (tElement reeller Zahlen)
Ansatz für Parameter t

Möglicher Lösungsweg für den Ansatz zur Ermittlung des Parameters t:

{VEC AP} ^2~=~ {vec CP}^2

(-3t)^2 + (4t + 2)^2 + 4^2 = (-3t + 3)^2 + (4t - 2)^2 + 4^2

Wert für t: t = 0,18

Koordinaten von P: P (2,46 | 2,72 | 4)

Hinweis: Die Ermittlung des Wertes für t kann auch unter Nutzung des Graph-Menüs des GTR erfolgen,

4 BE

15 BE

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Leistungskurs:

Aufgabe 1

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Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

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Aufgaben zu Problemen mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad

Aufgabenstellung vorherige Aufgabe - Ergebnisse - nächste Aufgabe

Ein kleiner Hof, der eine rechteckige Grundfläche mit 5,50 m Länge und 2,50 m Breite besitzt, wird von einer geradlinig verlaufenden Wasserleitung parallel zur waagerechten Erdoberfläche unterquert, In diesem Hof soll für Wartungsarbeiten an der Wasserleitung ein zylinderförmiger Schacht angelegt werden, dessen Grundfläche parallel zur Erdoberfläche liegt und einen Radius von 0,50 m hat. Zur Vermessung wird auf dem Erdboden ein ebenes kartesisches Koordinatensystem mit der Einheit Meter so eingezeichnet, daß sich der Koordinatenursprung in einem Eckpunkt des Hofes befindet und daß die Abszissenachse längs einer der kürzeren Rechteckseiten verläuft. In diesem Koordinatensystem wird der Verlauf der Wasserleitung mittels einer Geraden g durch die Punkte P1 (0,50 | 2,80) und P2 (1,90 | 0,00) dargestellt.Der Mittelpunkt M des Grundkreises k des Schachtes hat die Abszisse 1,00. Der Grundkreis schneidet die Gerade g in den beiden Punkten S1 und S2.

  1. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Skizze dar und bezeichnen Sie die gegebenen Stücke.Berechnen Sie die Länge der Wasserleitung im Bereich des Hofes.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  2. Ermitteln Sie den Mittelpunkt M des Grundkreises k unter folgenden Bedingungen - Die Ordinate des Mittelpunktes ist größer als 1,80. Der Abstand der beiden Punkte S1 und S2 beträgt 0,70 m.

Erreichbare BE-Anzahl: 5

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Aufgabe 1

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Grundkurs:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

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Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

a) Beschriftete Skizze (hierfür 2 BE):

Detaildarstellung für das Erwartungsbild zu b):




Nebenbedingungen: h ^ g; h* ^ g

Gleichung der Geraden g: y = -2,00*x + 3,80
Koordinaten des Punktes Py: Py (0,00 | 3,80)
Länge: 4,25 m

5 BE

b) Ansatz für M
Zwischenergebnis
Berücksichtigung der Bedingungen für den Mittelpunkt
Berücksichtigung der Bedingung für den Abstand der Schnittpunkte
Kreismittelpunkt: M (1,00 | 2,60)

Möglicher Lösungsweg - Variante 1:

M (1.00 | b)
b = y3 + e
y3 = -2 * 1,00 + 3,80 = 1,8O, da P3 Element von g
e = p / sin (a - 90°), da DMP3F rechtwinklig und ÐMP3F = a - 90°
p = sqrt {r^2`-`(s over 2)^2}~=~sqrt 0,1275= 0,357
tan a = -2 Þ a = 116,565°
e » 0,357 / sin (26,565 °) = 0,798
b » 1,80 + 0,80 = 2,60

M(1,0 | 2,60)

Möglicher Lösungsweg - Variante 2:

M ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden v (mit der Gleichung x = 1,00) mit der Geraden h (mit der Gleichung y = h (x) = mh * x + nh ), die orthogonal zu g verläuft, Aus dem Anstieg der Geraden g ergibt sich der Anstieg von h zu mh = -mg-1 = ½. Die Größe des Absolutgliedes nh kann abgeschätzt werden durch Bestimmung der Gleichung für die Gerade h*, die orthogonal zur Geraden g und durch den Punkt P3 verläuft. Mit P3 (1,00 | 1,80) ergibt sich die Gleichung für die Gerade h* zu y = h* ( x) = 0,5 * x + 1,30 , also gilt nh > 1,30. Die Größe von nh muß so lange variiert werden, bis die Bedingung für den Abstand s erfüllt ist bzw. bis p^2~=~{overline MF}^2~=~r^2`-`( s over 2)^2= 0,1275 gilt. Für die Untersuchung verschiedener Werte von nh wird der GTR zur grafischen Bestimmung des Punktes F = h Ç g sowie zur Berechnung von {overline MF}^2 eingesetzt, die einzelnen Schritte sind in folgender Tabelle zusammengefaßt:

nh
(Vorgabe)

M = h Çv
(1,00; 0,5*1,00 + nh)

F= h Çg
(grafisch mittels GTR)

{overline MF}^2
(Ziel: 0,1275)

1,80

(1,00; 2,30)

(0,80: 2,20)

0,20² + 0,10² = 0,05

2,30

(1,00; 2,80)

(0,60: 2,60)

0,2000

2,00

(1,00; 2,50)

(0,72: 2,36)

0,0980

2,10

(1,00: 2,60)

(0,68: 2,44)

0,1280

2,09

(1,00; 2,59)

(0,684; 2,432)

0,1248

2,095

(1,00; 2,595)

(0,682; 2,436)

0,1264

2,098

(1,00; 2,598)

(0,681; 2,438)

0,1274

2,099

(1,00; 2,599)

(0,680; 2,439)

0,1277

Ergebnis: M (1,00 | 2,60)

Möglicher Lösungsweg - Variante 3:

Läßt man M längs der Geraden v laufen dann ergeben sich beim Schnitt zwischen k und g in der Nähe von P3 die Schnittpunkte S1 und S2, die bei geeigneter Lage von M den geforderten Abstand besitzen. Aus dieser Überlegung läßt sich die Ordinate des Mittelpunktes M, die mit b bezeichnet wird, bestimmen (die Abszisse von M ist bekannt und beträgt nach Voraussetzung 1,00).
Der Kreis k wird beschrieben durch die Gleichung (x - 1,00)² + (y - b)² = 0,25. Durch Einsetzen der Gleichung für g in diejenige für k ergibt sich (x - 1,00)2 + (-2x + 3,80 - b)2 - 0,25 = 0. Löst man diese Gleichung für unterschiedliche Werte von b, dann erhält man die Abszissen der Schnittpunkte S1 und S2, aus denen man durch Einsetzen in die Gleichung für g auch die Ordinaten der Schnittpunkte erhält. Man variiert b so lange, bis der Abstand der Schnittpunkte den geforderten Wert erreicht bzw. bis {overline {S_1 S_2}}^2 = 0,702 = 0,4900 in der erforderlichen Genauigkeit gilt.

Aus den Koordinaten des Punktes P3 (1,00 | 1,80) Î g ergibt sich mit b > 1 80 eine Bedingung für b. Zur Effektivierung des Rechenaufwandes wird der GTR genutzt, indem mit mehreren Speicherzellen und der Solve-Funktion gearbeitet wird:
Solve ((X - l)2 + ((-2)*X + 3.8 - b)2 - 0,25, Schätzwert).

In der folgenden Tabelle wird der Rechengang dargestellt:

b
(Vorgabe)

x1
(Solve)

y1
(Gleichung g)

X2
(Solve)

y2
(Gleichung g)

{overline {S_1 S_2}}^2
(Ziel: 0,49)

2,3

0,6

2,6

1,0

1,8

0,42 + 0,82 = 0,8

2,8

0,5

2,8

0,7

2,4

0,2

2,5

0,546

2,709

0,894

2,011

0,6080

2,6

0,524

2,752

0,836

2,128

0,4880

2,61

0,522

2,756

0,830

2,140

0,4751

2,59

0,526

2,748

0,842

2,116

0,5007

Ergebnis: M(1,00; 2,60)

Hinweis: In der ersten Zeile wurde für X als Schätzwert 0,8 bzw. 0,9 verwendet, in allen anderen Zeilen 0,6 bzw. 0,8.

Möglicher Lösungsweg - Variante 4:

Der Kreis k wird beschrieben durch die Gleichung (x - 1,00)2 + (y - b)2 = 0,25. Durch Einsetzen der Gleichung für g in diejenige für k ergibt sich (x - 1,00)2 + (-2 x + 3,80 - b)2 - 0,25 = 0. Daraus kann man die Abszissen der Schnittpunkte S1 und S2 in Abhängigkeit von b ermitteln:
0 = x2 + 2*(0,4 b - 1,72) * x + (0,2 b2 - 1,52 b + 3,038)
x½ = 1,72 - 0,4 b ± Ö (-0,04 b2 + 0,144 b - 0,0796)
{overline {S_1 S_2}}^2 = (x2 - x1)2 + [(2x2 + 3,8) - (-2x1 + 3.8)]2 = 5 * (x2 - x1)2
= 5 * [2 * Ö (-0,04 b2 + 0,144 b - 0,0796) = 0,8 b2 + 2,88 b - 1,592

Mit {overline {S_1 S_2}}^2 = 0,72 folgt
0 = b2 - 3,6 b + 2,6025
bl = 2,598...
b2 = 1,001...
Der Wert für b2 entfällt nach den Bedingungen der Aufgabe.

Ergebnis: M (1,00 | 2,60)

5 BE

10 BE

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Aufgabe 1

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Abiturähnliche Aufgaben zur Stochastik für das Grundkursfach

Beispiel 1

Aufgabenstellung vorherige Aufgabe - Ergebnisse - nächste Aufgabe

Ein Unternehmen stellt Geräte her, die aus vier Blöcken B1, B2, B3 und B4 bestehen (siehe Abbildung). In jedem Gerät können diese Blöcke unabhängig voneinander ausfallen. Der Ausfall des Blockes Bl führt zum Ausfall des ganzen Gerätes, ebenso der Ausfall des Blockes B2, desgleichen der gleichzeitige Ausfall der beiden Blöcke B3 und B4. In allen anderen Fällen ist das Gerät funktionstüchtig (also auch dann, wenn einer der Blöcke B3 oder B4 ausfällt). Die Zuverlässigkeit, das ist die Wahrscheinlichkeit der ausfallfreien Arbeit innerhalb einer festgelegten Zeitdauer, ist für alle vier Blöcke gleich groß und beträgt 0,9.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.
Ereignis E: Innerhalb der Zeitdauer fällt Block B3 oder Block B4 aus.
Ereignis F: Innerhalb der Zeitdauer fällt mindestens ein Block aus.

Erreichbare BE-Anzahl: 2

b) Die Zufallsgröße Y beschreibt die Anzahl der innerhalb der Zeitdauer ausfallenden Blöcke. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße y.

Erreichbare BE-Anzahl: 2

c) Die Geräte werden im Unternehmen nach ihrer Fertigung zwei verschiedenen Prüfungen unterzogen, deren Ergebnisse voneinander unabhängig sind. Jedes gefertigte Gerät besteht die erste Prüfung mit der Wahrscheinlichkeit 0,95 und die zweite mit der Wahrscheinlichkeit 0,85. Die Zufallsgröße Z bezeichne die Anzahl der Prüfungen, die ein Gerät besteht.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße Z.

Erreichbare BE-Anzahl: 3

d) Berechnen Sie die Zuverlässigkeit des gesamten Gerätes.

Erreichbare BE-Anzahl: 1

e) Durch Veränderungen bei der Herstellung der Blöcke soll deren Zuverlässigkeit und damit die Zuverlässigkeit des gesamten Gerätes erhöht werden, Dabei wird für das Gerät eine Zuverlässigkeit größer als 95 % angestrebt. Ermitteln Sie die hierfür nötige Zuverlässigkeit der Blöcke.

Erreichbare BE-Anzahl: 2

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Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

Im Erwartungsbild werden folgende Bezeichnungen verwendet:
Ereignis overline B_i: Block Bi fällt innerhalb der Zeitdauer nicht aus (i Î {1, 2, 3, 4}; P(overline B_i) = 0,9).
Ereignis Bi: Block Bi fällt innerhalb der Zeitdauer aus (i Î {1, 2, 3, 4}; P(Bi) = 0,1).

a) Wahrscheinlichkeit P(E): 0,19
Wahrscheinlichkeit P(F): 0,3439

Möglicher Lösungsweg:

P (E) = 0,1 * 0,1 + 2 * 0, 9 * 0,1 = 0,19
P (F) = 1 - P (E) = 1 - 0,94 = 0,3439

2 BE

b) Ansatz für Erwartungswert
Erwartungswert der Zufallsgröße Y: 0,4

Möglicher Lösungsweg:

Y ist binomialverteilt mit n = 4 und p = P (Bi) = 0,1
E (Y) = n * p = 0,4

2 BE

c) Wahrscheinlichkeit P(Z=0): 0,0075
Wahrscheinlichkeit P(Z=l): 0,1850
Wahrscheinlichkeit P(Z=2): 0,8075

3 BE

d) Zuverlässigkeit des Gerätes: 0,8019

Möglicher Lösungsweg:

Zuverlässigkeit des Komplexes B3 und B4: (1 - 0,12)
Zuverlässigkeit des Gerätes: 0,9 * 0,9 * (1 - 0,12) = 0,8019

1 BE

e) Ansatz für Zuverlässigkeit
Zuverlässigkeit der Blöcke: ³ 0,975 (Näherungswert)

Möglicher Lösungsweg:

Es sei p die gesuchte Zuverlässigkeit der Blöcke p2 *[1 - (1 - p)2] > 0,95
Bestimmung der Zuverlässigkeit mit dem GTR, z. B.

2 BE

10 BE

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Beispiel 2

Aufgabenstellung vorherige Aufgabe - Ergebnisse - nächste Aufgabe

Eine Klasse besteht aus 27 Schülern, darunter sind 18 Mädchen, In der Klasse sind unabhängig voneinander drei Aufgaben zu verteilen, wobei für jede dieser Aufgaben der Verantwortliche durch Losentscheid ermittelt wird (ein Schüler kann also auch mehrere Aufgaben erhalten).
Die Zufallsgröße Z beschreibe die Anzahl der Aufgaben, die durch dieser 1 Losentscheid auf Mädchen entfallen.

a) Geben Sie an, wie die Zufallsgröße Z verteilt ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 1

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.
Ereignis A: Genau für eine Aufgabe ist ein Junge verantwortlich.
Ereignis B: Für alle drei Aufgaben sind Mädchen verantwortlich

Erreichbare BE-Anzahl: 2

c) Wie groß muß die Anzahl der Mädchen in der Klasse mindestens sein, damit P(B) > P(A) gilt?

Erreichbare BE-Anzahl: 1

In dieser Klasse sind 5 Schüler Mitglied des Schulchores. Per Los werden für die Teilnahme an einer Schulveranstaltung 6 Schüler ausgewählt. Von Interesse ist das Ereignis C: Unter den 6 ausgewählten Schülern sind genau 2 Chormitglieder.

d) Beschreiben Sie l wie Sie mittels Simulation einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C ermitteln können.

Erreichbare BE-Anzahl: 4

e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C.

Erreichbare BE-Anzahl: 2

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Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

a) Verteilung: Die Zufallsgröße Z ist binomialverteilt mit n = 3 und P = 2/3.

1 BE

b) Wahrscheinlichkeit P(A): 4/9
Wahrscheinlichkeit P(B): 8/27

möglicher Lösungsweg:

P(A) = P(Z = 2) = (BINOM 3 2 ) * ( 2 over 3)^2 * (1`-`2 over 3)~=~4 over 9

P(B) = P(Z = 3) = (BINOM 3 3 ) * ( 2 over 3)^3 * (1`-`2 over 3)^0~=~{8 over 27}

2 BE

c) Mindestzahl: 21

möglicher Lösungsweg:

n ... Anzahl der Mädchen - analog zu Teilaufgabe b) ergibt sich mit p>0

P(A) = P(Z = 2) = (BINOM 3 2 ) * p2*(1- p) = 3 p2 (1- p)

P(B) = P(Z = 3) = (BINOM 3 3 )* p3*(1- p)0 = p3

P(B) > P(A) Þ p3 > 3 p2 (1-p)

p > 0,75

n/p > 0,75

n/27 > 0,75

n > 20,25

nMin = 21

Hinweis: Die Lösugn für p kann auch ermittelt werden indem die Schnittstelle der Funktionen
Y1 = x3 und Y2 = 3*x2*(1-X) bzw. die Nullstelle der Funktion Y3 = x3 - 3*x2*(1-X) im Graph-Menü des GTR ermittelt wird und eine Auswahl des zutreffenden Intervalls erfolgt.

1 BE

d) Beschreibung

Möglicher Lösungsweg - Variante 1:

Es werden 27 gleichwahrscheinliche Zufallszahlen verwendet, von denen 5 ausgewählt werden, die für Chormitglieder stehen, Hinreichend viele Sechsertupel aus solchen Zufallszahlen werden ermittelt, dabei überliest man wiederholt auftretende Zufallszahlen.

Der Anteil der Sechsertupel wird bestimmt, die genau 2 der für Chormitglieder stehende Zufallszahlen enthalten. Die so ermittelte relative Häufigkeit ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C.

Hinweis: Die Zufallszahlen können z. B. mit dem Zufallszahlengenerator des GTR erzeugt werden.

Möglicher Lösungsweg - Variante 2:

Es wird eine Urne mit 27 Kugeln verwendet, von denen 5 Kugeln, die für Chormitglieder stehen, die Farbe 1 und die restlichen 22 Kugeln eine andere Farbe 2 haben. Per Zufall werden aus der Urne 6 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, und es wird festgehalten, ob von den gezogenen Kugeln genau 2 Kugeln die Farbe 1 besitzen (Konstellation 1) oder nicht. Anschließend werden die gezogenen Kugeln in die Urne zurückgegeben, und der Urneninhalt wird gemischt.

Das beschriebene Zufallsexperiment wird hinreichend oft wiederholt. Der Anteil der Konstellationen 1 an der Versuchsanzahl ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C.

4 BE

e) Ansatz
Wahrscheinlichkeit P(C): » 0,2471

Möglicher Lösungsweg:

P`(C)~=~{(stack{22#4})*(stack{5#2})} over {(stack {27#6})}» 0,2471

2 BE

10 BE