Abiturähnliche Aufgaben zu Geometrie/Algebra und Stochastik Gymnasium - Mathematik
Es werden abiturähnliche Aufgaben für die Prüfungsteile Geometrie/Algebra und Stochastik der zentralen schriftlichen Abiturprüfung Mathematik unter dem Aspekt der Zulassung des Hilfsmittels grafikfähiger Taschenrechner (GTR) vorgestellt. Im Prüfungsteil Geometrie/Algebra wird dabei zwischen Aufgaben zu grundlegender Problemen (analog Teil B der Abiturprüfung) und Aufgaben zu Problemen mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad (analog Teil D2 der Abiturprüfung) unterschieden.
Die Nutzungsmöglichkeit des GTR vermehrt die Varianten zur Lösung von Aufgaben. Der Schüler muß der jeweiligen Aufgabenstellung entnehmen, ob die Wahl der Lösungsstrategie freisteht (z. B. bei Aufforderungen wie "Ermitteln Sie ....", "Bestimmen Sie ...") oder ob es Einschränkungen gibt, z B. bei Aufforderungen wie „Ermitteln Sie grafisch ...“ (Ausschluß der numerischen Werkzeugebene) oder "Berechnen Sie ...", "Überprüfen Sie rechnerisch ..." (Ausschluß der grafischen Werkzeugebene aber Zulassung der numerischen Werkzeugebene einschließlich der Nutzung von Programmen für Berechnungen).
Grundsätzlich sind die Lösungswege nachvollziehbar und in logisch einwandfreier sowie in gut lesbarer Form darzustellen. In der Regel genügt das Aufführen der wesentlichen Schritte zur Lösung (z. B. stichpunktartige Beschreibung; Ansatz, Zwischenergebnisse und Ergebnis). Im Interesse der Nachvollziehbarkeit des Lösungsweges wird mitunter explizit dazu aufgefordert, die durch die verwendeten GTR-Implementationen bestimmten Einzelschritte in Kurzform aufzuführen. Die Aufgabenstellung kann auch eine ausführlichere Darstellung verlangen, etwa detaillierte Angaben der Teilschritte (z. B. bei Aufforderungen wie „Zeigen Sie rechnerisch ...“, "Überprüfen Sie rechnerisch ...“, „Weisen Sie nach ...“) oder eine Textform (z. B. bei Aufforderungen wie „Beschreiben Sie ...“, "Erläutern Sie ...", "Verdeutlichen Sie ...“). Nur wenn es im Aufgabentext ausdrücklich angezeigt wird (durch die Aufforderungen "Nennen Sie ...“, "Geben Sie ... an"), genügt das Mitteilen des gefundenen Ergebnisses, und es darf auf die Darstellung des Lösungsweges verzichtet werden.
Im Interesse der Chancengleichheit der Prüfungsteilnehmer bei Verwendung unterschiedlicher GTR-Typen in der Abiturprüfung wurden in der o. g. Handreichung zum Prüfungsteil Analysis GTR-Programme veröffentlicht, die auch in den Prüfungsteilen Geometrie/Algebra und Stochastik einsetzbar sind. Die Notwendigkeit der Veröffentlichung weiterer GTR-Programme zu den letztgenannten Prüfungsteilen erscheint den Autoren nicht gegeben Es wird dem Fachlehrer empfohlen, GTR-Programme zur Effektivierung von Routinearbeiten im Unterricht zu verwenden, wie z. B. Programme zur Bestimmung des Abstandes zweier Punkte, des Winkels zwischen zwei Vektoren, der Summenfunktion der Binomialverteilung, der Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung. In der Abiturprüfung ist die Nutzung dieser oder anderer GTR-Programme durch die Prüfungsteilnehmer zulässig.
Die in der Handreichung vorgestellten Aufgaben sollen Anregungen für die Fortsetzung der Diskussion in den Fachkonferenzen der Gymnasien geben sowie die Vorbereitung und Durchführung des Unterrichts unterstützen.
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt Q (4, 2, -8) und
die Gerade h durch 
(t
)
gegeben.
a) Weisen Sie nach, daß der Punkt Q nicht auf der Geraden h liegt.
Auf der Geraden h liegen die Punkte U und V, wobei das Dreieck QUV
gleichseitig ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte U und V.
Erreichbare BE-Anzahl 5
b) Ermitteln Sie den Abstand des Punktes Q von der Geraden h unter
Verwendung folgender Lösungsidee:
„Der Vektor 
vom Punkt Q zu einem beliebigen Punkt P auf der Geraden h bildet mit dem
Richtungsvektor 
der Geraden h einen Winkel a. Bewegt sich der
Punkt P längs der Geraden h, dann verändert sich die Größe
des Winkels a. Genau dann, wenn der Punkt P
bei seiner Bewegung die kürzeste Entfernung vom Punkt Q besitzt (er
befindet sich dann im Fußpunkt F des Lotes vom Punkt Q auf die
Gerade h), ist a ein rechter Winkel. Aus
dieser Orthogonalitätsbeziehung für die beiden Vektoren lassen
sich die Koordinaten des Punktes F bestimmen, und mit diesen ergibt sich
der gesuchte Abstand aus der Entfernung der Punkte Q und F.“
Erreichbare BE-Anzahl: 3
c) Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q von der Geraden h auf einem anderen Weg als in der Teilaufgabe b).
Erreichbare BE-Anzahl: 3
(s)
ist eine Gerade g1 und durch 
(r)
ist eine Gerade g2 bestimmt, die windschief zur Geraden gl
verläuft. d) Modifizieren Sie die in Teilaufgabe b) vorgestellte Lösungsidee
so, daß sich auf analogem Wege der Abstand zweier windschiefer
Geraden bestimmen läßt (Stellen Sie Ihre Überlegungen
in Kurzform dar).
Berechnen Sie auf dieser Grundlage den Abstand der Geraden gl
und g2.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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a) Nachweis
Ansatz für Koordinaten der Punkte
Berücksichtigung der Bedingung
Werte für den Parameter t
Koordinaten der Punkte
Möglicher Lösungsweg für die Bestimmung der Koordinaten von U und V - Variante 1:
Aus der Bedingung der Aufgabe folgt, daß die Vektoren
und 
mit dem Richtungsvektor 
der Geraden h die Winkel 120° bzw. 60° bilden, o. B. d. A. sei
U der Punkt auf h, für den der Vektor
mit
den Winkel 120° bildet.
U (0,12 | 4,78 | 1,22) (Näherungswerte)
Analog ergeben sich die Koordinaten von V.
V (9,88 | 7,22 | -1,22) (Näherungswerte)
Für die Näherungswerte der Koordinaten der Punkte U und V
gilt:
U (0,12 | 4,78 | 1,22) und V (9,88 | 7,22 | -1,22) bzw.
U (9,88 | 7,22 | -1,22) und V (0,12 | 4,78 | 1,22).
Möglicher Lösungsweg für die Bestimmung der Koordinaten von U und V - Variante 1:
Der Schnittwinkel der Geraden h und i(QU) bzw. h und j(QV) ist jeweils 60° , also gilt:
t2 - 2t - 0,5 = 0
Die Ortsvektoren der gesuchten Punkte sind (0,12 | 4,78 | 1,22) und (9,88 | 7,22 | 1,22).
Hinweis: Ermittlung der Werte des Parameters t kann rechnerisch unter Anschluß der Scheinlösung oder grafisch mit dem GTR erfolgen.
5 BE
b) Ansatz für Orthogonalität der Vektoren
Koordinaten von F
Abstand
Möglicher Lösungsweg:
0 = 
,
da ^
tF = 1 Þ F (5 | 6 | 0)
3 BE
c) Ansatz für Abstand
Zwischenergebnis
Abstand
Möglicher Lösungsweg - Variante 1:
Q Ï h
Þ 
=
I (t) > 0 und dQh = IMIN (tE)
Bestimmung des Minimums der Zielfunktion
mit Mitteln der Differentialrechnung über tE = 1 zu IMIN (1) = 9 oder
näherungsweise durch Nutzung der Minimum-Anzeige-Funktion oder der Trace-Funktion des GTR zu IMIN = 9 bei tE = 1.
Möglicher Lösungsweg - Variante 2:
R sei ein beliebiger Punkt in einer Ebene E, die den Punkt Q enthält und senk recht zu h verläuft.
0 = 
,
da ^
Þ -4x
- y + z + 26 = 0
F = E Ç h: -4 (1 + 4 tF) - (5 + tF) + (1 - tF) + 26 = 0
tF = 1 Þ F (5 | 6 | 0)
3 BE
d) Darstellung der Lösungsidee in Kurzform (hierfür 2 BE)
Ansatz für Abstand
Abstand
Möglicher Lösungsweg:
Darstellung der Lösungsidee in Kurzform:
P1 (9 - 4s | 1 + s | s) 
g1 und P2 (1 + 2r | r | 13 - 2r)
g2 bestimmen 
bildet
mit den Richtungsvektoren 
bzw. 
der Geraden die Winkel al bzw.
a2, sein Betrag entspricht der
Entfernung beider Punkte
Bewegung von P1 und P2 führt zur Veränderung von al bzw. a2
^und
^
Û 
=
d (g1; g2)
Berechnung des Abstandes:
Þ –9
rd - 18 sd + 54 = 0
Þ 9 rd + 9 sd
- 45 = 0
Aus den beiden Gleichungen folgt rd = 4; sd = 1 Þ
4 BE
15 BE
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen El, E2 und E3 gegeben durch
E1: x - 21y - 3z = 150,
E2: 2x + 3y - 6 z = 15,
E3: 13x - 3y - 9z = 90.
Die Ebenen E1, E2 und E3 sowie die y-z-Koordinatenebene begrenzen eine Pyramide ABCD, deren Begrenzungsfläche ABC in der y-z-Koordinatenebene liegt.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide sowie das Volumen der Pyramide.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
b) Dem Umkreis der in der y-z-Koordinatenebene liegenden Seitenfläche
der Pyramide ist ein gleichschenkliges Dreieck so umschrieben, daß
ein Eckpunkt dieses Dreiecks mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt.
Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden vom Koordinatenursprung
verschiedenen Eckpunkte dieses Dreiecks.
Erreichbare BE-Anzahl: 6
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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a) Ansatz für Koordinaten eines Eckpunktes
Koordinaten aller Eckpunkte
Ansatz für Volumen
Volumen: 60
Möglicher Lösungsweg:
Die y-z-Koordinatenebene E4 ist gegeben durch x = 0.
Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide:
A Ç E1
Ç E2
Ç E4 : A (0 | 7 | 1)
B Ç E2
Ç E3
Ç E4 : B (0 | l5 | 5)
C Ç E1
Ç E3
Ç E4 : C (0 | 6 | 8)
D Ç E1
Ç E2
Ç E3 : D (6 | 7 | 1)
Hinweise: Die Bezeichnung der Punkte A, B und C erfolgt o. B. d. A. Die Koordinaten der Punkte können schnell mit Hilfe des GTR als Lösungen entsprechender Gleichungssysteme gewonnen werden
Wird zur Volumenberechnung der Pyramide das Dreieck ABC als Grundfläche ausgewählt, dann gibt der Betrag der x-Koordinate des Punktes D die Höhe der Pyramide an, da die gewählte Grundfläche in der y-z-Koordinatenebene liegt.
V = 1/3 ADABC |xd|: ADABC = ½ |7 (5 - 8) + 15 (8 - 1) + 6 (1 - 5)| = 30: V = 60
Hinweis: Die Berechnung des Flächeninhaltes der Grundfläche oder des Volumens der Pyramide kann auch mittels GTR-Programmen erfolgen.
4 BE
b) Ansatz für Umkreismittelpunkt
Gleichung des Umkreises: (y - 10)2 + (z - 5)2
= 25
Ansatz für Tangentengleichungen durch den Koordinatenursprung
Tangentengleichungen:
t1: z = 0 und t2: z = 4y
Gleichung der dritten Tangente: t3: z = -2y + 25 + 5Ö5
Koordinaten der Punkte:
P = t1 Ç t3
: 
Q = t2 Ç t3
: 
6 BE
10 BE
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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Eine Telefongesellschaft rüstet die Telefonanschlüsse ihrer Kunden um. Dazu werden Stecker benutzt, deren Ausschußwahrscheinlichkeit 0,04 beträgt.
a) Ein Kontrolleur entnimmt der laufenden Produktion 20 Stecker.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Ereignis A: Kein Stecker ist Ausschuß.
Ereignis B: Höchstens zwei Stecker sind Ausschuß.
Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Ausschußstücke.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
b) In einer Großstadt verfügen bereits 15% der Haushalte über
einen ISDN-Anschluß. Die Firma läßt in dieser Stadt
an 3 000 zufällig ausgewählte Haushalte Werbezettel für
diese Anschlüsse verteilen.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür daß wenigstens
2 500 Werbezettel an Haushalte verteilt werden, die noch keinen
ISDN-Anschluß besitzen.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Bei digitaler Datenübertragung kann die kleinste Informationseinheit (Bit) nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Die Wahrscheinlichkeit für richtiges Übertragen eines Bits sei p. Bei einem Übertragungsfehler wird der jeweils andere Wert übertragen. Übertragungsfehler treten unabhängig voneinander auf.
Um Übertragungsfehler möglichst auszuschließen, wird entweder jedes Bit dreimal (Variante A) oder fünfmal (Variante B) nacheinander übertragen.
Das Empfangsgerät ordnet jedem Bit den Wert zu, der am häufigsten in der Dreier bzw. Fünfergruppe auftritt.
a) Ermitteln Sie für beide Varianten die Wahrscheinlichkeiten,
mit der ein Bit am Empfangsgerät richtig erkannt wird, falls p =
0,97 ist.
Ermitteln Sie in Abhängigkeit von p die günstigste Variante
zur Fehlervermeidung bei der Datenübertragung.
Geben Sie die Werte für p an, für die sich nur eine
einfache DatenÜbertragung (ohne Wiederholung) empfiehlt.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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a) Wahrscheinlichkeit P(A): »
0,4420
Wahrscheinlichkeit P(B): » 0,9561
Erwartungswert: 0,8
3 BE
b) Einführung einer binomialverteilten Zufallsgröße
und Nachweis, daß bei Anwendung der Näherungsformel von de
Moivre-Laplace lediglich eine kleine Abweichung vom genauen Wert zu
erwarten ist.
Ansatz mit Näherungsformel
Wahrscheinlichkeit: » 0,9953
Hinweis: Bei Anwendung der Näherungsformel mit Berücksichtigung des Korrekturgliedes ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von » 0,9951.
3 BE
c) Wahrscheinlichkeit für Variante A: »
0,9974
Wahrscheinlichkeit für Variante B: »
0,9997
Möglicher Lösungsweg zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten - Variante A:
Z3 ... Anzahl der richtig übertragenen Bit in einer Dreiergruppe
Z3 ist binomialverteilt mit n = 3 und p = 0,97.
Ein Bit wird richtig erkannt, wenn in der Dreiergruppe drei oder zwei richtige Übertragungen erfolgten.
P(Z3 > 2) = 0,973 + 3 * 0,972 * 0,03 » 0,9974
Variante B:
Z5 ... Anzahl der richtig übertragenen Bit in einer Fünfergruppe
Z5 ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,97.
Ein Bit wird richtig erkannt, wenn in der Fünfergruppe fünf, vier oder drei richtige Übertragungen erfolgten.
P(Z5 > 3) = 0,975 + 5 * 0,974 * 0,03 + 10 * 0,973 * 0,032 » 0,9997
günstigste Variante der Datenübertragung in Abhängigkeit von p:
Für 0 < p < 0,5 ist die Wahrscheinlichkeit der fehlerfreien Übertragung eines Bits nach Variante A größer als nach Variante B, für 0,5 < p < 1 ist Variante B günstiger als Variante A.
Möglicher Lösungsweg für den Vergleich der Wahrscheinlichkeiten.
P(Z3 > 2) = p3 + 3 * p2 * (1 - p)
P(Z5 > 3) = p5 + 5 * p4 * (1 - p) + 10 * p3 * (1 - p)2
Lösungsmöglichkeit 1
Die Graphen der Funktionen Y1= X3 +3*X2 *(l-X) und Y2=X5+5*X4*(l-X)+10*X3*(l-X)2 werden mit Hilfe des GTR in einem geeigneten Darstellungsbereich gezeichnet (0 £ X £ l; 0 £ Y £ 1). Die Schnittstelle 0,5 der Graphen wird mit dem Intersection-Befehl des GTR ermittelt. Aus dem Verlauf der Graphen folgt die Lösung des Problems.
Lösungsmöglichkeit 2
Zunächst werden alle Stellen p im Intervall 0 < p < 1 gesucht, für die Variante A und Variante B die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.
p5 + 5 * p4 * (1 - p) + 10 * p3 * (1 - p)2 = p3 + 3 * p2 * (1 - p)
p2 * (6 * p3 - 15 * p2 + 12 * p - 3) = 0
Unter Nutzung des GTR zur grafischen oder numerischen Lösung der Gleichung im Variablengrundbereich erhält man p = 015. Die Lösung des Problems ergibt sich nach Berechnung und Vergleich der Wahrscheinlichkeiten für die Varianten A und B in den Teilintervallen 0 < p < 0,5 bzw. 0,5 < p < 1.
Werte für p: Keine Mehrfachübertragung ist zu empfehlen, wenn p £ 0,5 gilt.
Möglicher Lösungsweg für die Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten:
Grafische Lösung durch Vergleich der o. g. Graphen Yl und Y2
mit dem Graphen von Y3=X oder
rechnerische Lösung durch Lösen der Gleichungen P (Z3
³ 2) = p und P (Z5
³ 3) = p sowie Berechnung und
Vergleich von Wahrscheinlichkeiten in den Teilintervallen.
4 BE
10 BE
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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a) Zum Volksfest haben sich 60 % männliche und 40 % weibliche Gäste
versammelt. Als erstes Getränk bestellen erfahrungsgemäß
von den männlichen Gästen 70 % Bier, 10 % Wein und der Rest
alkoholfreie Getränke sowie von den weiblichen Gästen 50 %
Bier, 20 % Wein und der Rest alkoholfreie Getränke.
Ein Gast wählt bei seiner ersten Bestellung ein alkoholfreies
Getränk. Ein Kellner (der nicht weiß, wer das Getränk
bestellt hat) wettet mit einer Kollegin (die ebenfalls nicht weiß,
wer das Getränk bestellt hat), daß das Getränk von
einer Frau bestellt wurde.
Ermitteln Sie die Gewinnchancen des Kellners unter der Annahme, daß
die genannten Erfahrungswerte für diesen Tag gelten.
An einem Tisch nimmt eine Gruppe von 21 Frauen Platz. Am Tresen
stehen 6 Gläser Bier bereit.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen diese 6 Gläser Bier aus,
wenn jede der 21 Frauen genau ein Glas eines Getränks bestellt?
Erreichbare BE-Anzahl 4
b) Die Biergläser wurden von einer Firma der Stadt für das
Fest angefertigt. Dabei wurden in jedem Kasten 20 Gläser
geliefert und so gekennzeichnet, da~ jedes Glas genau einem Kasten
zugeordnet werden kann.
Die Rückgabewahrscheinlichkeit eines Glases wird mit 0,9
angenommen.
Wie hoch muß bei einem Einkaufspreis von 8,50 DM pro Glas
mindestens der Pfandbetrag sein, wenn der Gastwirt keinen Verlust
machen will?
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Ereignis A: Von einer Kiste werden mehr als 3 Gläser nicht zurückgegeben.
Ereignis B. Von 15 Kisten werden mehr als 35 Gläser nicht zurückgegeben.
Ereignis C: Von mindestens einer von 15 Kisten kommen alle Gläser
zurück.
Erreichbare BE-Anzahl: 6
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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a) Ansatz für Gewinnchance
Gewinnchance: 50 %
Ansatz für Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit: » 0,0392
Möglicher Lösungsweg:
Ereignis M: Es handelt sich um einen männlichen Gast.
Ereignis F: Es handelt sich um einen weiblichen Gast.
Ereignis B: Der Gast trinkt Bier.
Ereignis W: Der Gast trinkt Wein.
Ereignis A: Der Gast trinkt ein alkoholfreies Getränk.
P (M) = 0,6; P (F) = 0,4
PM (B) = 0,7; PM (W) = 0,1; PM
(A) = 0,2
PF (B) = 0,5; PF (W) = 0,2; PF (A)
= 0,3
Die Gewinnchancen des Kellners betragen 50 %.
Y ... Anzahl der Frauen, die Bier bestellen
Y ist binomialverteilt mit den Parametern n = 21 und p = 0,5.
P (Y £ 6) » 0,0392
Die bereitstehenden Biergläser reichen nur mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 4 %.
Hinweis:
Die Summenfunktion der Binomialverteilung ist für n = 21 nicht tabelliert. Die Schüler können das Ergebnis auf unterschiedlichen Wegen finden, z. B.
durch Anwendung der Näherungsformel von DE Moivre-Laplace
(dabei ist darauf hinzuweisen, daß wegen n * p * (1 - p) = 5,25
< 9 größere Abweichungen vom genauen Wert auftreten können;
die Rechnung ohne bzw. mit Berücksichtigung des Korrekturgliedes
ergibt » 0,025 bzw.
» 0,040).
4 BE
b) Mindestpfandbetrag: 0,85 DM --> Das steht zumindest in den offiziellen Lösungsvorschlägen. Da der Pfand zurückgezahlt wird, ist für jedes Glas ein Pfand im Einkaufswert zu erheben - oder ein Aufschlag von 0,85 DM für jedes verkaufte Glas Bier. Für den Hinweis - vielen Dank an die Schüler von und an Barbara Schuster.
Wahrscheinlichkeit P(A): » 0,1330
Ansatz für P(B)
Wahrscheinlichkeit P(B): » 0,1453
Ansatz für P(C)
Wahrscheinlichkeit P(C): » 0,8569
Möglicher Lösungsweg:
V ... Verlust in DM
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Ereignis |
keine Glasrückgabe |
Glasrückgabe |
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v |
8,5 |
0 |
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P (V = v) |
0,1 |
0,9 |
E (V) = 8,50 * 0,1 + 0 * 0,9 = 0,85
Um den zu erwartenden Verlust auszugleichen, muß der Gastwirt einen Pfandbetrag von mindestens 0,85 DM pro Glas verlangen.
ZA ... Anzahl der nicht zurückgegebenen Gläser unter der
Bedingung A
ZA ist binomialverteilt mit den Parametern n = 20 und p = 0,1.
P (A) = P (ZA > 3) = 1 - P (ZA < 3) »
0,1330
ZB ... Anzahl der nicht zurückgegebenen Gläser unter der
Bedingung B
ZB ist binomialverteilt mit den Parametern n = 300 und p = 0,1.
Variante 1: Nutzung eines GTR-Programmes
P (B) = P (ZB > 35) = 1 - P (ZB £ 35)
P (B) » 1 - 0,8547 = 0,1453
Variante 2: Arbeit mit Näherungsformel und Tabelle
P (B) = P (ZB > 35) = 1 - P (ZB £ 35)
Wegen n * p * (1 - p) = 27 > 9 ist zu erwarten, daß die Anwendung der Näherungsformel von DE MOIVRE-LAPLACE nur zu kleinen Abweichungen vom genauen Wert führt.
P (B) » 1 - F
»
1 - F (0.96) » 0,1685
Hinweis: Bei Anwendung der Näherungsformel mit Berücksichtigung des Korrekturgliedes ergibt sich P(B) » 0,1446.
ZC ... Anzahl der Kisten, bei denen alle Gläser zurückgegeben
werden
ZC ist binomialverteilt mit den Parametern n = 15 und p = 0,920.
P (C) = P (ZC ³ 1) = 1 - P (ZC = 0)
» 0,8569
6 BE
10 BE
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O wird
ein schiefes dreiseitiges Prisma OACDEG durch die Vektoren
=
(3 | 0 | 0) , 
=
(0 | 4 | 0) und 
=
(0 | 2 | 4) aufgespannt (siehe Skizze). Es soll zu einem vierseitigen
Prisma mit dem Rechteck OABC als Grundfläche und dem Rechteck DEFG
als Deckfläche ergänzt werden.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte B, E, F und G.
Zeichnen Sie ein Schrägbild des vierseitigen Prismas in ein
Koordinatensystem.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
Es sei M der Mittelpunkt der Strecke 
und g eine Gerade, auf der die Seitenhalbierende des Dreiecks ACM durch
den Eckpunkt A liegt.
b) Untersuchen Sie rechnerisch die Art des Dreiecks ACM bezüglich
der Einteilung nach Seiten und nach Winkeln.
Geben Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ACM an.
Erreichbare BE-Anzahl. 5
c) Bestimmen Sie den Durchstoßpunkt der Geraden g durch die y-z-Koordinatenebene
Erreichbare BE-Anzahl: 2
d) Auf der Geraden durch die Punkte E und G gibt es einen Punkt P
derart, daß das Dreieck ACP ein gleichschenkliges Dreieck mit
der Strecke A-C als Basis ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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a) Koordinaten zweier Punkte
Koordinaten aller Punkte: B (3 | 4 | 0), E(3 | 2 | 4), F(3 | 6 | 4),
G (0 | 6 | 4)
Zeichnung (hierfür 2 BE)
4 BE
b) Koordinaten von M: M (1,5 | 4 | 4)
Längen der Seiten: 
=
5; 
=
5,85; 
=
4,27
Schlußfolgerung: Das Dreieck ist unregelmäßig.
Aussage zu mindestens einem Innenwinkel und Schlußfolgerung
Möglicher Lösungsweg zur Einteilung des Dreiecks nach Winkeln:
Betrachtung zum Gegenwinkel der größten Seite
= 4,5
=
*
cos Ð MCA > 0 Þ
Winkel MCA ist spitzer Winkel
Das Dreieck ACM ist spitzwinklig, da sein größter
Innenwinkel ein spitzer Winkel ist.
Flächeninhalt: » 10,44
Hinweis: Für die Bestimmung des Abstandes zweier Punkte und des Winkels zwischen zwei Vektoren eignen sich entsprechende GTR-Programme.
5 BE
c) Gleichung der Geraden g: 
(r)
Durchstoßpunkt S: S (0 | 16/3 | 8/3)
2 BE
d) Gleichung der Geraden h: 
(t)
Ansatz für Parameter t
Möglicher Lösungsweg für den Ansatz zur Ermittlung des Parameters t:
(-3t)^2 + (4t + 2)^2 + 4^2 = (-3t + 3)^2 + (4t - 2)^2 + 4^2
Wert für t: t = 0,18
Koordinaten von P: P (2,46 | 2,72 | 4)
Hinweis: Die Ermittlung des Wertes für t kann auch unter Nutzung des Graph-Menüs des GTR erfolgen,
4 BE
15 BE
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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Ein kleiner Hof, der eine rechteckige Grundfläche mit 5,50 m Länge und 2,50 m Breite besitzt, wird von einer geradlinig verlaufenden Wasserleitung parallel zur waagerechten Erdoberfläche unterquert, In diesem Hof soll für Wartungsarbeiten an der Wasserleitung ein zylinderförmiger Schacht angelegt werden, dessen Grundfläche parallel zur Erdoberfläche liegt und einen Radius von 0,50 m hat. Zur Vermessung wird auf dem Erdboden ein ebenes kartesisches Koordinatensystem mit der Einheit Meter so eingezeichnet, daß sich der Koordinatenursprung in einem Eckpunkt des Hofes befindet und daß die Abszissenachse längs einer der kürzeren Rechteckseiten verläuft. In diesem Koordinatensystem wird der Verlauf der Wasserleitung mittels einer Geraden g durch die Punkte P1 (0,50 | 2,80) und P2 (1,90 | 0,00) dargestellt.Der Mittelpunkt M des Grundkreises k des Schachtes hat die Abszisse 1,00. Der Grundkreis schneidet die Gerade g in den beiden Punkten S1 und S2.
Stellen Sie den Sachverhalt in einer Skizze dar und bezeichnen Sie die gegebenen Stücke.Berechnen Sie die Länge der Wasserleitung im Bereich des Hofes.
Erreichbare BE-Anzahl: 5
Ermitteln Sie den Mittelpunkt M des Grundkreises k unter folgenden Bedingungen - Die Ordinate des Mittelpunktes ist größer als 1,80. Der Abstand der beiden Punkte S1 und S2 beträgt 0,70 m.
Erreichbare BE-Anzahl: 5
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Leistungskurs: |
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Grundkurs: |
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a) Beschriftete Skizze (hierfür 2 BE): |
Detaildarstellung für das Erwartungsbild zu b): |
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Nebenbedingungen: h ^ g; h* ^ g |
Gleichung der Geraden g: y = -2,00*x + 3,80
Koordinaten des Punktes Py: Py (0,00 | 3,80)
Länge: 4,25 m
5 BE
b) Ansatz für M
Zwischenergebnis
Berücksichtigung der Bedingungen für den Mittelpunkt
Berücksichtigung der Bedingung für den Abstand der
Schnittpunkte
Kreismittelpunkt: M (1,00 | 2,60)
Möglicher Lösungsweg - Variante 1:
M (1.00 | b)
b = y3 + e
y3 = -2 * 1,00 + 3,80 = 1,8O, da P3
g
e = p / sin (a - 90°), da
DMP3F rechtwinklig und
ÐMP3F =
a - 90°
p = 
=
0,357
tan a = -2 Þ
a = 116,565°
e » 0,357 / sin (26,565 °) =
0,798
b » 1,80 + 0,80 = 2,60
M(1,0 | 2,60)
Möglicher Lösungsweg - Variante 2:
M ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden v (mit der Gleichung x =
1,00) mit der Geraden h (mit der Gleichung y = h (x) = mh
* x + nh ), die orthogonal zu g verläuft, Aus dem
Anstieg der Geraden g ergibt sich der Anstieg von h zu mh
= -mg-1 = ½. Die Größe des
Absolutgliedes nh kann abgeschätzt werden durch
Bestimmung der Gleichung für die Gerade h*, die
orthogonal zur Geraden g und durch den Punkt P3 verläuft.
Mit P3 (1,00 | 1,80) ergibt sich die Gleichung für
die Gerade h* zu y = h* ( x) = 0,5 * x + 1,30
, also gilt nh > 1,30. Die Größe von nh
muß so lange variiert werden, bis die Bedingung für den
Abstand s erfüllt ist bzw. bis 
=
0,1275 gilt. Für die Untersuchung verschiedener Werte von nh
wird der GTR zur grafischen Bestimmung des Punktes F = h
Ç g sowie zur Berechnung von
eingesetzt, die einzelnen Schritte sind in folgender Tabelle
zusammengefaßt:
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nh |
M = h Çv |
F= h Çg |
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|---|---|---|---|
|
1,80 |
(1,00; 2,30) |
(0,80: 2,20) |
0,20² + 0,10² = 0,05 |
|
2,30 |
(1,00; 2,80) |
(0,60: 2,60) |
0,2000 |
|
2,00 |
(1,00; 2,50) |
(0,72: 2,36) |
0,0980 |
|
2,10 |
(1,00: 2,60) |
(0,68: 2,44) |
0,1280 |
|
2,09 |
(1,00; 2,59) |
(0,684; 2,432) |
0,1248 |
|
2,095 |
(1,00; 2,595) |
(0,682; 2,436) |
0,1264 |
|
2,098 |
(1,00; 2,598) |
(0,681; 2,438) |
0,1274 |
|
2,099 |
(1,00; 2,599) |
(0,680; 2,439) |
0,1277 |
Ergebnis: M (1,00 | 2,60)
Möglicher Lösungsweg - Variante 3:
Läßt man M längs der Geraden v laufen dann ergeben
sich beim Schnitt zwischen k und g in der Nähe von P3
die Schnittpunkte S1 und S2, die bei
geeigneter Lage von M den geforderten Abstand besitzen. Aus dieser Überlegung
läßt sich die Ordinate des Mittelpunktes M, die mit b
bezeichnet wird, bestimmen (die Abszisse von M ist bekannt und beträgt
nach Voraussetzung 1,00).
Der Kreis k wird beschrieben durch die Gleichung (x - 1,00)² +
(y - b)² = 0,25. Durch Einsetzen der Gleichung für g in
diejenige für k ergibt sich (x - 1,00)2 + (-2x + 3,80
- b)2 - 0,25 = 0. Löst man diese Gleichung für
unterschiedliche Werte von b, dann erhält man die Abszissen der
Schnittpunkte S1 und S2, aus denen man durch
Einsetzen in die Gleichung für g auch die Ordinaten der
Schnittpunkte erhält. Man variiert b so lange, bis der Abstand
der Schnittpunkte den geforderten Wert erreicht bzw. bis
= 0,702 = 0,4900 in der erforderlichen Genauigkeit gilt.
Aus den Koordinaten des Punktes P3 (1,00 | 1,80)
Î g ergibt sich mit b > 1 80 eine
Bedingung für b. Zur Effektivierung des Rechenaufwandes wird der
GTR genutzt, indem mit mehreren Speicherzellen und der Solve-Funktion
gearbeitet wird:
Solve ((X - l)2 + ((-2)*X + 3.8 - b)2 - 0,25,
Schätzwert).
In der folgenden Tabelle wird der Rechengang dargestellt:
|
b |
x1 |
y1 |
X2 |
y2 |
|
|---|---|---|---|---|---|
|
2,3 |
0,6 |
2,6 |
1,0 |
1,8 |
0,42 + 0,82 = 0,8 |
|
2,8 |
0,5 |
2,8 |
0,7 |
2,4 |
0,2 |
|
2,5 |
0,546 |
2,709 |
0,894 |
2,011 |
0,6080 |
|
2,6 |
0,524 |
2,752 |
0,836 |
2,128 |
0,4880 |
|
2,61 |
0,522 |
2,756 |
0,830 |
2,140 |
0,4751 |
|
2,59 |
0,526 |
2,748 |
0,842 |
2,116 |
0,5007 |
Ergebnis: M(1,00; 2,60)
Hinweis: In der ersten Zeile wurde für X als Schätzwert 0,8 bzw. 0,9 verwendet, in allen anderen Zeilen 0,6 bzw. 0,8.
Möglicher Lösungsweg - Variante 4:
Der Kreis k wird beschrieben durch die Gleichung (x - 1,00)2
+ (y - b)2 = 0,25. Durch Einsetzen der Gleichung für
g in diejenige für k ergibt sich (x - 1,00)2 + (-2 x
+ 3,80 - b)2 - 0,25 = 0. Daraus kann man die Abszissen der
Schnittpunkte S1 und S2 in Abhängigkeit
von b ermitteln:
0 = x2 + 2*(0,4 b - 1,72) * x + (0,2 b2 -
1,52 b + 3,038)
x½ = 1,72 - 0,4 b ±
Ö (-0,04 b2 + 0,144 b -
0,0796)
= (x2 - x1)2 + [(2x2 +
3,8) - (-2x1 + 3.8)]2 = 5 * (x2 -
x1)2
= 5 * [2 * Ö (-0,04 b2 +
0,144 b - 0,0796) = 0,8 b2 + 2,88 b - 1,592
Mit
= 0,72 folgt
0 = b2 - 3,6 b + 2,6025
bl = 2,598...
b2 = 1,001...
Der Wert für b2 entfällt nach den Bedingungen
der Aufgabe.
Ergebnis: M (1,00 | 2,60)
5 BE
10 BE
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||
|---|---|---|---|---|
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Leistungskurs: |
||||
|
|
||||
|
Grundkurs: |
||||
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a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.
Ereignis E: Innerhalb der Zeitdauer fällt Block B3
oder Block B4 aus.
Ereignis F: Innerhalb der Zeitdauer fällt mindestens ein Block
aus.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
b) Die Zufallsgröße Y beschreibt die Anzahl der innerhalb der Zeitdauer ausfallenden Blöcke. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße y.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
c) Die Geräte werden im Unternehmen nach ihrer Fertigung zwei
verschiedenen Prüfungen unterzogen, deren Ergebnisse voneinander
unabhängig sind. Jedes gefertigte Gerät besteht die erste Prüfung
mit der Wahrscheinlichkeit 0,95 und die zweite mit der
Wahrscheinlichkeit 0,85. Die Zufallsgröße Z bezeichne die
Anzahl der Prüfungen, die ein Gerät besteht.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße
Z.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
d) Berechnen Sie die Zuverlässigkeit des gesamten Gerätes.
Erreichbare BE-Anzahl: 1
e) Durch Veränderungen bei der Herstellung der Blöcke soll deren Zuverlässigkeit und damit die Zuverlässigkeit des gesamten Gerätes erhöht werden, Dabei wird für das Gerät eine Zuverlässigkeit größer als 95 % angestrebt. Ermitteln Sie die hierfür nötige Zuverlässigkeit der Blöcke.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
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||
|---|---|---|---|---|
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Leistungskurs: |
||||
|
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||||
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Grundkurs: |
||||
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:
Block Bi fällt innerhalb der Zeitdauer nicht aus (i
Î {1, 2, 3, 4}; P()
= 0,9). a) Wahrscheinlichkeit P(E): 0,19
Wahrscheinlichkeit P(F): 0,3439
Möglicher Lösungsweg:
P (E) = 0,1 * 0,1 + 2 * 0, 9 * 0,1 = 0,19
P (F) = 1 - P (E) = 1 - 0,94 = 0,3439
2 BE
b) Ansatz für Erwartungswert
Erwartungswert der Zufallsgröße Y: 0,4
Möglicher Lösungsweg:
Y ist binomialverteilt mit n = 4 und p = P (Bi) = 0,1
E (Y) = n * p = 0,4
2 BE
c) Wahrscheinlichkeit P(Z=0): 0,0075
Wahrscheinlichkeit P(Z=l): 0,1850
Wahrscheinlichkeit P(Z=2): 0,8075
3 BE
d) Zuverlässigkeit des Gerätes: 0,8019
Möglicher Lösungsweg:
Zuverlässigkeit des Komplexes B3 und B4:
(1 - 0,12)
Zuverlässigkeit des Gerätes: 0,9 * 0,9 * (1 - 0,12)
= 0,8019
1 BE
e) Ansatz für Zuverlässigkeit
Zuverlässigkeit der Blöcke: ³
0,975 (Näherungswert)
Möglicher Lösungsweg:
Es sei p die gesuchte Zuverlässigkeit der Blöcke p2
*[1 - (1 - p)2] > 0,95
Bestimmung der Zuverlässigkeit mit dem GTR, z. B.
grafische Darstellung der Funktion Y1 = X2 * [1 - (1 - X)2 - 0,95
Ermittlung der Nullstelle von Yl mit dem Root-Befehl des GTR
Lösung der Ungleichung in sinnvoller Genauigkeit aus dem Verlauf des Graphen
2 BE
10 BE
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|---|---|---|---|---|
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Leistungskurs: |
||||
|
|
||||
|
Grundkurs: |
||||
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|
a) Geben Sie an, wie die Zufallsgröße Z verteilt ist.
Erreichbare BE-Anzahl: 1
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.
Ereignis A: Genau für eine Aufgabe ist ein Junge verantwortlich.
Ereignis B: Für alle drei Aufgaben sind Mädchen
verantwortlich
Erreichbare BE-Anzahl: 2
c) Wie groß muß die Anzahl der Mädchen in der Klasse mindestens sein, damit P(B) > P(A) gilt?
Erreichbare BE-Anzahl: 1
d) Beschreiben Sie l wie Sie mittels Simulation einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C ermitteln können.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
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|---|---|---|---|---|
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Leistungskurs: |
||||
|
|
||||
|
Grundkurs: |
||||
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|
a) Verteilung: Die Zufallsgröße Z ist binomialverteilt mit n = 3 und P = 2/3.
1 BE
b) Wahrscheinlichkeit P(A): 4/9
Wahrscheinlichkeit P(B): 8/27
möglicher Lösungsweg:
P(A) = P(Z = 2) = 
P(B) = P(Z = 3) = 
2 BE
c) Mindestzahl: 21
möglicher Lösungsweg:
n ... Anzahl der Mädchen - analog zu Teilaufgabe b) ergibt sich mit p>0
P(A) = P(Z = 2) = 
*
p2*(1- p) = 3 p2 (1- p)
P(B) = P(Z = 3) = 
*
p3*(1- p)0 = p3
P(B) > P(A) Þ p3 > 3 p2 (1-p)
p > 0,75
n/p > 0,75
n/27 > 0,75
n > 20,25
nMin = 21
Hinweis: Die Lösugn für p kann auch ermittelt
werden indem die Schnittstelle der Funktionen
Y1 = x3 und Y2 = 3*x2*(1-X) bzw. die
Nullstelle der Funktion Y3 = x3 - 3*x2*(1-X)
im Graph-Menü des GTR ermittelt wird und eine Auswahl des
zutreffenden Intervalls erfolgt.
1 BE
d) Beschreibung
Möglicher Lösungsweg - Variante 1:
Es werden 27 gleichwahrscheinliche Zufallszahlen verwendet, von denen 5 ausgewählt werden, die für Chormitglieder stehen, Hinreichend viele Sechsertupel aus solchen Zufallszahlen werden ermittelt, dabei überliest man wiederholt auftretende Zufallszahlen.
Der Anteil der Sechsertupel wird bestimmt, die genau 2 der für Chormitglieder stehende Zufallszahlen enthalten. Die so ermittelte relative Häufigkeit ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C.
Hinweis: Die Zufallszahlen können z. B. mit dem Zufallszahlengenerator des GTR erzeugt werden.
Möglicher Lösungsweg - Variante 2:
Es wird eine Urne mit 27 Kugeln verwendet, von denen 5 Kugeln, die für Chormitglieder stehen, die Farbe 1 und die restlichen 22 Kugeln eine andere Farbe 2 haben. Per Zufall werden aus der Urne 6 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, und es wird festgehalten, ob von den gezogenen Kugeln genau 2 Kugeln die Farbe 1 besitzen (Konstellation 1) oder nicht. Anschließend werden die gezogenen Kugeln in die Urne zurückgegeben, und der Urneninhalt wird gemischt.
Das beschriebene Zufallsexperiment wird hinreichend oft wiederholt. Der Anteil der Konstellationen 1 an der Versuchsanzahl ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C.
4 BE
e) Ansatz
Wahrscheinlichkeit P(C): » 0,2471
Möglicher Lösungsweg:
»
0,2471
2 BE
10 BE
