Aufgabenstellungen

Teil A: Analysis

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Für jedes a (a R, a > 0) ist eine Funktion fa gegeben durch Außerdem ist die zweite Ableitung der Funktionen fa durch gegeben.

  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionen fa an und führen Sie für die Funktionen fa eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).
    Weisen Sie nach, dass die Funktionen fa keine Wendestellen besitzen.
    Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f6 im Intervall -2 ≤ x ≤ 3 und den Graphen der Funktion f12 im Intervall -2 ≤ x ≤ 6.
    Erreichbare BE-Anzahl: 11
  2. Ermitteln Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion f6 im Punkt Q(1 | f6(1)).
    Erreichbare BE-Anzahl: 3
  3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion h, auf deren Graph alle lokalen Extrempunkte der Graphen von fa liegen.
    Erreichbare BE-Anzahl: 2
  4. Für jedes a (a R, a > 0) schließt der Graph der Funktion fa mit der x-Achse eine Fläche vollständig ein. Bei Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht ein Körper.
    Ermitteln Sie den Wert a so, dass das Volumen dieses Rotationskörpers beträgt.
    Erreichbare BE-Anzahl: 5
  5. Der Graph der Funktion f12 und die x-Achse begrenzen eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
    Erreichbare BE-Anzahl: 4

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen Ea durch (21 - 7a)x + (5 - 5a)y - 35z = -35a (a R), die Gerade g durch sowie die Punkte P(15 | -7/2 | 7), Q(15 | 7 | 7) und S(2 | 1 | -4) gegeben.

  1. Zeigen Sie, dass der Punkt P in der Ebene E1 liegt.
    Berechnen Sie den Abstand der Punkte P und Q.
    Ermitteln Sie den Wert a, für den der Punkt Q in der Ebene Ea liegt.
    Erreichbare BE-Anzahl: 3
  2. Die Gerade g schneidet die Ebene E1 im Punkt R. Die Punkte P, Q und R sind Eckpunkte eines in der Ebene E1 liegenden Dreiecks.
    Berechnen Sie das Volumen der Pyramide PQRS.
    Erreichbare BE-Anzahl: 8
  3. Ermitteln Sie den Wert a, für den die Ebene E a orthogonal zur Ebene E1 ist.
    Erreichbare BE-Anzahl: 2
    Erreichbare BE-Anzahl: 11
  4. Weisen Sie nach, dass die Gerade s mit in jeder der Ebenen Ea liegt.
    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Test C: Stochastik

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Ein Betrieb produziert Glühlampen, Energiesparlampen und Leuchtstoffröhren.

  1. Für die Produktion von Glühlampen stehen zwei Maschinen M1 und M2 zur Verfügung. Die Maschine M1 produziert 65% der Glühlampen, wobei der Ausschussanteil 1% beträgt. Bei der Maschine M2 beträgt der Ausschussanteil 2,5%.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine in diesem Betrieb produzierte Glühlampe Ausschuss ist?
    Eine zufällig der Produktion entnommene Glühlampe ist Ausschuss. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese Glühlampe von Maschine M2?
    Für eine Untersuchung benötigt man ein von Maschine M2 gefertigtes Ausschussstück.
    Wie viele Glühlampen von M2 müssen der laufenden Produktion mindestens entnommen werden, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,99 wenigstens ein Ausschussstück unter ihnen befindet?
    Erreichbare BE-Anzahl: 4
  2. Ein Fachgeschäft erhält eine Lieferung von 900 Glühlampen, darunter 150 farbige. Aus der Lieferung werden 50 Glühlampen zufällig entnommen.
    Die Zufallsgröße, welche die Anzahl der farbigen Glühlampen in der Stichprobe beschreibt, sei binomialverteilt. Bestimmen Sie unter dieser vereinfachten Annahme jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.
    Ereignis A: Unter den 50 ausgewählten Glühlampen sind höchstens 4 farbige.
    Ereignis B: Unter den 50 ausgewählten Glühlampen sind mindestens 8 farbige.
    Erreichbare BE-Anzahl: 2
  3. Bei der Produktion von Energiesparlampen rechnet dieser Betrieb mit einer Ausschussquote von 3%. Eine Tagesproduktion an Energiesparlampen wird komplett kontrolliert. Dabei werden 39 defekte Lampen ermittelt. Der Produktionsleiter sieht in dieser Zahl die exakte Bestätigung der Ausschussquote.
    Wie viele Energiesparlampen wurden an diesem Tag produziert?
    Erreichbare BE-Anzahl: 2
  4. Die Lebensdauer von Leuchtstoffröhren sei angenähert normalverteilt mit dem Erwartungswert 1 500 Stunden.
    Ermitteln Sie die Standardabweichung, wenn 98% der Leuchtstoffröhren eine Lebensdauer zwischen 1 150 Stunden und 1 850 Stunden aufweisen.
    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis

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Für jedes k (k R, k > 0) ist eine Funktion fk durch gegeben.

Die Abbildung zeigt das mit einem grafikfähigen Taschenrechner erzeugte Bild des Graphen der Funktion f2:

  1. Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f2 im Punkt Q(2 | f2(2)).
    Für jedes u (u R, u > 0) sind zwei Punkte Pu(u | f2(u)) und Pu*(-u | f2(-u)) gegeben.
    Die Gerade tu ist Tangente an den Graphen der Funktion f2 im Punkt Pu.
    Die Gerade tu* ist Tangente an den Graphen der Funktion f2 im Punkt Pu*.
    Ermitteln Sie den Wert u, für den sich die Tangenten tu und tu* rechtwinklig schneiden.
    Erreichbare BE-Anzahl: 6
  2. Die Länge eines Kurvenstückes des Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion f im Intervall a ≤ x ≤ b bezeichnet man als Bogenlänge L. Diese Bogenlänge kann mit der Formel berechnet werden.
    Weisen Sie nach, dass man die Bogenlänge des Graphen der stetig differenzierbaren Funktion fk im Intervall a ≤ x ≤ b durch berechnen kann.
    Ermitteln Sie die Bogenlänge L des Graphen der Funktion fk im Intervall -k ≤ x ≤ k.
    Erreichbare BE-Anzahl: 4

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Skizze
Abbildung 1: Skizze

In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine gerade Pyramide ABCDS mit quadratischer Grundfläche durch die Eckpunkte
A(-4 | 8 | 16), 8(-9 | 18 | 6), C(-19 | 8 | 1), D(-14 | -2 | 11) und S(1 | 7/4 | -4) gegeben.
Auf der Seitenfläche ABS der Pyramide liegen die Punkte M(0 | 3 | 0) und N(-1 | 5 | -2). Eine Ebene E1 in der die Punkte M und N liegen, schneidet jede der vier Seitenflächen der Pyramide (siehe Skizze).

  1. Weisen Sie nach, dass die durch die Punkte Mund N bestimmte Gerade g parallel zu einer Grundkante der Pyramide verläuft.
    Zeigen Sie, dass der Punkt M auf der Kante AS und der Punkt N auf der Kante es liegen.
    Erreichbare BE-Anzahl: 4
  2. Die Schnittfigur der Ebene E mit der Pyramide ist das Trapez KLMN, dessen größere der beiden parallelen Seiten die Länge 9 besitzt und dessen Höhe beträgt.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E.
    Erreichbare BE-Anzahl: 6

1Aus diesem Grund wird bei der Lösung kein grafikfähiger Taschenrechner verwendet.

2Diese werden hier nicht wiedergegeben. Sie enthalten zumeist eine Tabelle zur Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Manchmal eine Tabelle zur Summenfunktion der Binomialverteilung. Beides kann durch Verwendung des GTR leicht ersetzt werden. Die Tabellen finden Sie im Inhalt der Online-Ausgabe dieses Textes www.sn.schule.de/~matheabi.