Für jede reelle Zahl a (a > 0) ist eine Funktion f_a mit f_a(x)=4·x·(1-a·√x) (x ∈ D_fa) definiert.

1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich D_fa an.
   Zeigen Sie, dass für jedes a der Koordinatenursprung auf dem Graphen der Funktion f_a liegt.
   Außerdem existiert für jedes a ein weiterer gemeinsamer Punkt Z_a des Graphen der Funktion f_a mit der Abszissenachse.
   Geben Sie die Koordinaten des Punktes Z_a an und zeigen Sie, dass der Anstieg der Tangenten im Punkt Z_a stets unabhängig von a ist.
   Berechnen Sie für jedes a die Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Graphen der Funktion f_a und untersuchen Sie die Art des Extremums.
   Begründen Sie, dass kein a existiert, für das der Graph der Funktion f_a einen Wendepunkt besitzt.
   Geben Sie den Wertebereich von f_a an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 12

2. Für jedes u (u ∈ R, 0 < u < a^-2) sind die Punkte P_a(u | f_a(u)), Q(u | 0) und der Koordinatenursprung Eckpunkte eines Dreiecks.
   Es gibt genau einen Wert u, für den der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird.
   Berechnen Sie diesen Wert u.
   Ermitteln Sie den Wert a, für den sich ein maximaler Flächeninhalt von ½ ergibt.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

3. Für jedes a begrenzen der Graph der Funktion f_a und die Abszissenachse eine Fläche vollständig.
   Berechnen Sie den Wert a, für den der Inhalt dieser Fläche beträgt. Erreichbare BE-Anzahl:�5

4. Für jedes x (x ∈ R, x > 0) ist die Funktion f_½ Stammfunktion einer Funktion g_½.
   Berechnen Sie alle Werte von t (t ∈ R, t > 0), für die gilt: .
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (4 | 0 | -1), B (0 | 4 | -1) und C(4 |4 |3) sowie für jedes t (t ∈ R) ein Punkt S_t(3+t | 3+t | -t) gegeben.

Es gibt Punkte St' für die das Dreieck ABC Grundfläche einer Pyramide ABCS_t ist.

1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, auf der die Punkte S_t liegen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 1

2. Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

3. Ermitteln Sie alle Werte t, für die A, B, C und S_t Eckpunkte einer Pyramide sind.
   Weisen Sie rechnerisch nach, dass diese Pyramide ABCS_t gerade ist.
   Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCS_t.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

4. Es existiert genau ein Wert t, für den die Punkte P( 5 | 6 | -10/3), A, B und S_t in einer Ebene liegen.
   Ermitteln Sie diesen Wert t.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

5. Es gibt Pyramiden ABCS_t mit einem rechtwinkligen Dreieck als Seitenfläche.
   Begründen Sie, dass für diese Pyramiden alle Seitenflächen rechtwinklige Dreiecke sind.
   Berechnen Sie alle Werte t, für die Pyramiden mit rechtwinkligen Seitenflächen entstehen.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

Es gibt verschiedene Arten von Sonnenuhren. Bei den vertikalen Sonnenuhren befindet sich das Ziffernblatt auf einer vertikalen Projektionsebene, z. B. einer Häuserwand. An dieser ist ein zu dieser Ebene geneigter Schattenstab befestigt.

Die Projektionsebene einer vertikalen Sonnenuhr sei die x-z-Koordinatenebene eines kartesischen Koordinatensystems (1 Einheit entspricht 1 m), dessen x-Achse in Ost-West-Richtung verläuft.
Der Schattenstab ist im Koordinatenursprung befestigt und endet im Punkt P(0,00; -0,20; -0,25).

1. Die Neigung des Schattenstabes gegenüber der x-y-Ebene entspricht näherungsweise der geographischen Breite des Aufstellungsortes der Sonnenuhr.
   Berechnen Sie die geographische Breite des Aufstellungsortes der Sonnenuhr.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Durch die Länge des Schattens lässt sich mit Sonnenuhren auch das Datum anzeigen. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors ein.
   Bestimmen Sie die Länge des Schattens auf der Projektionsebene.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Zwischen einer Sonnenuhr und einer mechanischen Uhr gibt es Zeitabweichungen Δt₁ durch die Ellipsenbewegung der Erde um die Sonne und Zeitabweichungen Δt₂ durch die Neigung der Erdachse. Die gesamte Zeitabweichung Δt (in Minuten) kann an einem bestimmten Ort näherungsweise durch folgende Zeitgleichung modelliert werden:
   (T ∈ R, 0 < T ≤ 365)
   Die Variable T kennzeichnet die Tage eines Nichtschaltjahres (für den 1. Januar gilt 0 < T ≤ 1 , für den 2. Januar gilt 1< T ≤ 2 usw.).
   Geben Sie einen Tag des Jahres an, an dem zu einem bestimmten Zeitpunkt die Zeitabweichung Δt₂ keinen Einfluss auf Δt hat.
   Bestimmen Sie ein Datum eines Jahres, an dem die Sonnenuhr und die mechanische Uhr gleich gehen.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für die maximale Zeitabweichung Δt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

Abbildung 1: (nicht maßstäblich) Die Schönfelder Papierfabrik im Erzgebirge stellt verschiedene Arten von Recycling-Papieren her. Bei der Herstellung wird das Papier am Ende der Papiermaschine auf einen Tambour (Trommel) mit einem Durchmesser von 40,0 cm aufgewickelt (siehe Abbildung).

Der Tambour rotiert um eine Achse, die in einem kartesischen Koordinatensystem (1�Einheit entspricht 1 m) durch die Gleichung (t ∈ R, 0 ≤ t ≤ 0,68) beschrieben werden kann.

Das Papier wird mit einer Breite von 330 cm mittig auf dem Tambour aufgerollt.

1. Der Tambour ist so lang wie seine Drehachse.
   Ermitteln Sie, wie weit der Tambour auf jeder der beiden Seiten der Papierrolle übersteht.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Zu Beginn der Aufwicklung auf den leeren Tambour verläuft die Papierbahn zwischen Tambour und der dazu parallelen Walze in der Ebene E mit der Gleichung 5x+2y-14z=22.
   Der Durchmesser der Walze wird für den folgenden Sachverhalt vernachlässigt.
   Auf der Walze existiert ein Punkt P(15,00; 12,00; 5,50).
   Zeigen Sie, dass der Punkt P in der Ebene E liegt und dass die Ebene E den Tambour berührt.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Bei der Herstellung einer bestimmten Papiersorte beträgt die Papierdicke 0,10 mm.
   Ein Quadratmeter dieses Papiers hat eine Masse von 60,0 g.
   Berechnen Sie die Masse des aufgewickelten Papiers, wenn der Durchmesser der auf dem Tambour aufgewickelten Rolle 140 cm beträgt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5