Für jedes t (t ∈ R, t > 0) sind die Funktionen f_t durch und g_t durch gegeben.

1. Geben Sie die Nullstellen der Funktion f_π an.
   Geben Sie die Monotonieintervalle der Funktion f_π und die zugehörige Art der Monotonie an.
   Geben Sie Näherungswerte für die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen der Funktion f_π an.
   Der Graph der Funktion f_π und die Winkelhalbierende des ersten Quadranten schließen eine Fläche vollständig ein.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für den Inhalt dieser Fläche.

   Erreichbare BE-Anzahl: 8

2. Weisen Sie nach, dass die Funktion g_t die erste Ableitungsfunktion der Funktion f_t ist.
   Der Graph der Funktion f_t besitzt genau zwei Extrempunkte.
   Zeigen Sie, dass diese Punkte die Koordinaten und besitzen.
   Weisen Sie nach, dass die Ordinaten beider Extrempunkte unabhängig von t sind.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

3. Geben Sie ohne Integration eine Stammfunktion G_t von g_t an, für die gilt: G_t(0) = 1.
   Der Graph der Funktion g_t und die Abszissenachse begrenzen eine Fläche vollständig.
   Ermitteln Sie ohne Verwendung von Näherungswerten den Inhalt dieser Fläche.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

Im Folgenden wird die Funktion f_π mit dem neuen Definitionsbereich betrachtet.

4. Vom Punkt P(0 | 1) wird eine Tangente an den Graphen der Funktion f_π gelegt.
   Beschreiben Sie ein Vorgehen zur Ermittlung einer Gleichung einer solchen Tangente.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

5. Für jedes k (k ∈ ℕ) ist der Punkt ein Wendepunkt des Graphen der Funktion f_π.
   Ermitteln Sie diejenige Exponentialfunktion h mit y = h(x) = a·e^b·x (a, b ∈ R) auf deren Graphen alle Punkte W_k liegen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte B(5 |0 |-1), C(3 |4 |-5), D(-1 |6 |-1) und S(-2 |-1 |-3) gegeben.

1. Untersuchen Sie die Vektoren , und auf lineare Unabhängigkeit.
   Es gibt genau einen Punkt A, so dass die Strecken und ein und denselben Mittelpunkt haben.
   Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes A.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

Das Viereck ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S.

2. Weisen Sie rechnerisch nach, dass ABCDS eine gerade quadratische Pyramide ist.
   Berechnen Sie das Volumen V dieser Pyramide.
   Geben Sie die Koordinaten eines Punktes S' an, für den die Pyramide ABCDS' ebenfalls das Volumen V hat.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

3. Auf der Höhe der Pyramide ABCDS gibt es genau einen Punkt Q, der von allen Eckpunkten dieser Pyramide den gleichen Abstand hat.
   Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes Q.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Der Mittelpunkt der Pyramidengrundfläche sei M. Jeder Punkt P auf der Mantelfläche der Pyramide hat vom Punkt M einen Abstand d_p.
   Begründen Sie, dass für die Abstände d_p gilt: .

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

In der Stadthalle einer sächsischen Großstadt werden regelmäßig Veranstaltungen durchgeführt. Aus Sicherheitsgründen stehen genau 525 Plätze zur Verfügung.

1. Eine Tanzschule veranstaltet in dieser Stadthalle regelmäßig öffentliche Bälle. Für den abendlichen Ball dieser Tanzschule werden genau 525 Karten angeboten. Erfahrungsgemäß wird eine Karte mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % verkauft.
   Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der tatsächlich verkauften Ballkarten.
   Eine Karte hat einen Preis von 15 €. Für den Ball fallen Gesamtkosten von 4650 € an.
   Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens die Gesamtkosten erwirtschaftet werden.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

2. Für die monatlich durchgeführten Rock-Konzerte in dieser Stadthalle ist bekannt, dass aus verschiedenen Gründen 5% der Kartenbesitzer ihre Karten verfallen lassen.
   Ermitteln Sie, wie viele Karten höchstens verkauft werden können, damit jeder Besucher des Rock-Konzertes mit 99%iger Sicherheit einen Platz bekommt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Zum Schuljubiläum eines Gymnasiums der Großstadt findet in der Stadthalle eine Festveranstaltung statt. An dieser Festveranstaltung nehmen 40% aller Schüler der Schule teil.
   Der Schülerrat des Gymnasiums verkauft anlässlich dieses Jubiläums eine Broschüre, deren Erlös Schülerprojekte finanziell unterstützen soll.
   Ein Schüler, der an der Festveranstaltung teilnimmt, kauft mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,75 eine solche Broschüre. Ein Schüler, der diese Festveranstaltung nicht besucht, erwirbt diese Broschüre mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6.
   Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Schüler, der diese Broschüre kauft, an der Festveranstaltung teilnimmt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Abbildung 1: Skizze (nicht maßstäblich) Die nebenstehende Skizze zeigt den Querschnitt eines Schmelztiegels aus Porzellan (Dichte: ρ = 2,5 ) in einem kartesischen Koordinatensystem (1 Einheit entspricht 1 Millimeter).
Die Querschnittsfläche wird durch zwei zur Ordinatenachse symmetrische quadratische Parabeln und zwei Strecken begrenzt. Der Schmelztiegel entsteht durch Rotation dieser Fläche um die Ordinatenachse.

1. Ermitteln Sie den Inhalt der Querschnittsfläche dieses Schmelztiegels.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

2. Berechnen Sie, bis zu welcher Höhe der Schmelztiegel mit einer geschmolzenen Legierung (ρ = 13,5 ) gefüllt ist, wenn seine Gesamtmasse (Schmelztiegel mit Legierung) 50,9 g beträgt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

Eine Bundesstraße wird von einer Staatsstraße gekreuzt. Im Zuge des Neubaus der Staatsstraße soll eine Brücke errichtet werden, welche diese über die 20,0 m breite Bundesstraße und zwei jeweils beidseitig angeordnete 10,0 m breite Randstreifen führt.

1. In einer ersten Planungsvariante soll die Fahrbahn auf der Brücke einen parabelförmigen Verlauf haben und tangential in zwei symmetrisch angeordnete und jeweils 3,9 m hohe Rampen konstanter Neigung münden (siehe Abb. 2).

   
   Abbildung 2: (nicht maßstäblich, alle Angaben in Meter)

   
   An jeder Stelle der Bundesstraße muss eine Mindestdurchfahrtshöhe von 4,5 m unter der Brücke gewährleistet sein.
   Zeigen Sie, dass unter den gegebenen Bedingungen bei einer geforderten Rampenlänge von e = 65,0 m die Beschreibung der Fahrbahn der Staatsstraße durch eine quadratische Funktion nicht möglich ist.
   Ermitteln Sie, wie lang eine Rampe unter den gegebenen Forderungen höchstens sein kann, um die Brückenfahrbahn mit einer quadratischen Funktion zu beschreiben.
   Erreichbare BE-Anzahl: 6

2. Eine zweite Planungsvariante sieht vor, dass die Konstruktion der Brücke aus einem waagerechten Träger mit der Fahrbahn, der auf 4,5 m hohen Rampen aufliegt, und einem Kreisbogen mit einem Radius von 29,0 m als Stützelement besteht. Zwischen dem Träger und dem Stützelement sind in regelmäßigen Abständen fünf senkrechte Verbindungsstücke eingebaut (siehe Abb. 3).

   
   Abbildung 3: (nicht maßstäblich, alle Angaben in Meter)

   
   Berechnen Sie die Länge der kürzesten Verbindungsstücke.
   Erreichbare BE-Anzahl: 4