Für jedest (t ∈ R,t > 0) ist eine Funktion f_t durch
y=f_t(x)=e^tx (x-1)² (x ∈ R) gegeben.

1. Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f_t im Intervall -10 ≤ x ≤ 2.
   Geben Sie für die zugehörige erste Ableitungsfunktion f_t' im vorgegebenen Intervall an:
   1. Näherungswerte für die Nullstellen,
   2. alle Argumente, für welche – x die Funktionswerte f_t'(x) negativ sind,
   3. die Anzahl der Extremstellen.
      Erreichbare BE-Anzahl: 3
2. Es existiert genau eine Wendetangente an den Graphen der Funktion f₂' die mit dem Graphen von f₂ eine Fläche vollständig begrenzt.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für den Inhalt dieser Fläche.
   Erreichbare BE-Anzahl: 4
3. Der Graph der Funktion f_t besitzt außer dem lokalen Minimumpunkt P_MIN(1 | 0) genau einen lokalen Maximumpunkt.
   Die lokalen Maximumpunkte aller Funktionen f_t liegen auf dem Graphen einer Funktion g.
   Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion g.
   Erreichbare BE-Anzahl: 6
4. Zeigen Sie durch Integration, dass die Funktion F₂ mit F₂(x) = ½ e²^x (x² - 3x + 5/2) eine Stammfunktion der Funktion f₂ ist.
   Der Graph der Funktion f₂ und die Koordinatenachsen begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche vollständig.
   Berechnen Sie ohne Verwendung von Näherungswerten den Inhalt dieser Fläche.
   Erreichbare BE-Anzahl: 6
5. Die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f₃ und der Schnittpunkt dieses Graphen mit der Ordinatenachse sind Eckpunkte eines Dreiecks.
   Es gibt mehrere Möglichkeiten, dieses Dreieck durch einen weiteren Punkt zu einem Parallelogramm zu ergänzen.
   Ermitteln Sie die Koordinaten eines solchen Punktes.
   Erreichbare BE-Anzahl: 3
6. Für jedes t (t ∈ R,t > 0) ist eine Funktion h_t mit h_t(x) = e^tx (x ∈ R) gegeben.
   Für jeden Wert t existiert genau ein Wert u, für den die Differenz der Funktionswerte h_t(x) - f_t(x) an der Stelle x = u (u ∈ R,0 < u < 2) maximal wird.
   Ermitteln Sie den Wert t, für den u = 3/2 ist.
   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Abbildung 1: Skizze (nicht maßstäblich) In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O sind die Punkte B(3 | 0 | 0) und E(0 | 0 | 8) sowie für jedes a (a ∈ R, a > 0) die Punkte ) C_a(3 | a | 0) und D_a(0 | a | 0) gegeben.
Das Rechteck OBC_aD_a ist die Grundfläche des Quaders OBC_aD_aEFG_aH_a.
Die Punkte M sind Mittelpunkte der jeweils angegebenen Kanten (siehe Skizze).

1. Ermitteln Sie den Oberflächeninhalt des Quaders.
   Berechnen Sie ohne Verwendung von Näherungswerten einen Wert a, für den sich die Raumdiagonalen des Quaders durch die Punkte B und H_a bzw. E und C_a unter einem Winkel von 60° schneiden.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

Die Mittelpunkte , und sind Eckpunkte der Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze .

2. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide für a = 1.
   Begründen Sie, dass für jeden Wert a die Höhe der Pyramide beträgt.
   Berechnen Sie den Wert a, für den das Volumen der zugehörigen Pyramide 20 beträgt.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

3. Es gibt Werte a, für die auf der Kante Punkte existieren, deren Abstand von genau so groß ist wie der Abstand von zu .
   Ermitteln Sie alle Werte a, für die derartige Punkte existieren.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Die Firma "Lecker" stellt Schokolade her. Die Tafeln werden in Kartons zu je 12 Stück verpackt. Erfahrungsgemäß gehen 2 % der Tafeln zu Bruch.

1. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Karton keine zerbrochene Tafel enthält.
   Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass sich unter 120 Tafeln höchstens eine zerbrochene Tafel befindet.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Berechnen Sie, wie viele Kartons mindestens kontrolliert werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % wenigstens eine zerbrochene Tafel zu finden.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

3. Eine Firma portioniert mit einem Automaten Schokolade zu Schokoladentafeln derart, dass die Masse der Tafeln annähernd normalverteilt ist mit dem Erwartungswert 105,0 g und der Standardabweichung 2,0 g.
   Auf den Tafeln wird der PackungsInhalt mit 100 g ausgewiesen.
   Berechnen Sie, bei wie viel Prozent der Tafeln die Masse unterhalb des angegebenen Wertes liegt,
   Herr Schlank meint, der Automat sollte so eingestellt sein, dass mindestens bei 10 % der Tafeln die Masse kleiner als 100,0 g ist.
   Ermitteln Sie, wie groß der Erwartungswert bei gleicher Standardabweichung höchstens sein dürfte, um dieses Ziel zu erreichen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. In letzter Zeit häufen sich die Beschwerden der Verkaufsstellen, die von der Firma "Lecker" beliefert werden. Sie beklagen, dass neben 2 % Bruch der Tafeln auch eingerissenes Papier der einzelnen Schokoladentafeln auftritt. Nach ihren Angaben sind nur noch 94 % der Tafeln unbeschädigt, also ohne eingerissenes Papier und ohne Bruch.
   Der Kontrolleur ermittelt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % eingerissenes Papier auftritt.
   Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Tafel Schokolade mit eingerissenem Papier auch gebrochen ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Wahlaufgabe 1

Abbildung 2: Skizze (nicht maßstäblich) Parabolspiegel sind Hohlspiegel, die durch Drehung einer Parabel um ihre Symmetrieachse entstehen.
Beim Parabolspiegel erfolgt die Reflexion einfallender Strahlen an der Oberfläche so, dass Einfallswinkel und Reflexionswinkel gleich groß sind.
Strahlen, die aus dem Brennpunkt F kommen, werden parallel zur Symmetrieachse reflektiert. Setzt man in den Brennpunkt eine punktfärmige Lichtquelle, so verlässt das Licht den Spiegel nahezu achsenparallel (siehe Skizze).

Für folgende Untersuchungen wird ein Schnitt eines Parabolspiegels als Teil des Graphen der Parabel y = f(x) = a x² (x ∈ R; a ∈ R, a > 0) betrachtet.

1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die von einem Brennpunkt ausgehenden Strahlen in einem beliebigen Punkt B_a(b | f_a(b)) der Parabel f_a so reflektiert werden, dass sie auf zur Symmetrieachse parallelen Geraden liegen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

Parabolspiegel werden auch zur Herstellung von Fahrzeugscheinwerfern genutzt.

2. In diese Scheinwerfer werden Glühlampen mit einer durchschnittlichen Brenndauer von 700 Stunden eingebaut. Die Brenndauer dieser Glühlampen ist mit einer Standardabweichung von 80 Stunden annähernd normalverteilt.
   Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Glühlampe eine Brenndauer von mehr als 800 Stunden hat.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Abbildung 3: nicht maßstäblich Nebenstehende Abbildung stellt den Abzugskamin eines Küchenherdes in einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O dar (1 Längeneinheit entspricht 1 Millimeter).

Die Flächen ABCDO, AOIE und ODHI liegen jeweils in einer Koordinatenebene.

Der Kamin hat die Form eines schiefen Pyramidenstumpfes mit den zueinander parallelen Flächen ABCDO und EFGHI sowie den kongruenten Seitenflächen AOIE und ODHI.

Die zueinander kongruenten Seitenflächen ABFE und CDHG stehen jeweils senkrecht zur x-z- bzw. y-z-Koordinatenebene.

Die Punkte A und E besitzen die Koordinaten A (600 | 0 | 0) und E(150 | 0 | 900).

Die Punkte B und F liegen auf der Geraden g mit (t ∈ R).

Die Materialdicke der Seitenflächen wird nicht berücksichtigt.

1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes B an.
   Begründen Sie, dass der Punkt C die Koordinaten C (400 | 600 | 0) besitzt.
   Berechnen Sie das Volumen des Kamins.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

2. Die Grundfläche wird durch drei in der x-y-Koordinatenebene liegende trapezförmige Streifen vergrößert, um eine Abstellfläche zu schaffen (siehe Abbildung).
   Der Punkt K ist ein Eckpunkt dieser Abstellfläche und liegt auf der Verlängerung der Strecke .
   Zeigen Sie rechnerisch, dass nicht alle drei Trapeze die Höhe 100 mm haben.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. In der Grundfläche befindet sich für das Abzugsgebläse ein rechteckiger Ausschnitt. Eine Rechteckseite verläuft parallel zur Kaminkante BC und alle Eckpunkte des Rechtecks haben von den nächstliegenden Kanten , , sowie jeweils einen Abstand von genau 50 mm.
   Ermitteln Sie unter der Bedingung, dass das Rechteck einen größtmöglichen Flächeninhalt hat, die Koordinaten zweier benachbarter Eckpunkte dieses Rechtecks.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3