Für jedes a (a ∈ R; a ≠ 0) ist eine Funktion f_a durch gegeben.

1. Betrachtet wird die Funktion f₁.
   Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich dieser Funktion an.
   Geben Sie das Symmetrieverhalten sowie Näherungswerte für die Koordinaten der beiden lokalen Extrempunkte und des Wendepunkts des Graphen dieser Funktion an. Erreichbare BE-Anzahl: 5

2. 
   Nebenstehende Abbildung zeigt für eine Funktion f_a die Graphen der Ableitungsfunktionen und im Intervall -4 ≤ x ≤ 4.
   Treffen Sie begründete Aussagen zu folgenden Eigenschaften der Funktion f_a in diesem Intervall:

   • Extremstelien,

   • Art der lokalen Extrema,

   • Monotonieverhalten,

   • Wendestelle. Erreichbare BE-Anzahl: 7

3. Berechnen Sie ohne Verwendung von Näherungswerten alle Werte a, für die gilt: f'_a(1) = 0.
   Erreichbare BE-Anzahl: 5

4. Geben Sie die Anzahl der senkrechten Asymptoten des Graphen der Funktion f_a in Abhängigkeit von a an.
   Bestimmen Sie eine Gleichung der schrägen Asymptote des Graphen der Funktion f_a.
   Ermitteln Sie alle Werte a, für die die Funktion f_a genau drei Nullstellen besitzt.
   Erreichbare BE-Anzahl: 7

5. Gegeben ist die Funktion F_a durch F_a(x)= ½x² +a·ln(x² - a) (x ∈ D_fa).
   Weisen Sie nach, dass die Funktion F_a eine Stammfunktion der Funktion f_a ist.
   Für jedes a (a ∈ R; a < 0) begrenzen der Graph der Funktion f_a und die Abszissenachse im 4. Quadranten eine Fläche vollständig.
   Berechnen Sie den Wert a, für den der Inhalt dieser Fläche 6·ln(2) - 3 beträgt.
   Erreichbare BE-Anzahl: 7

6. Es soll eine Gleichung einer ganzrationalen Funktion g dritten Grades ermittelt werden, welche die Extremstellen x_E1 = -2 und x_E2 = 2 besitzt.
   Folgende Lösungsschritte werden vorgeschlagen:
   (1) Ableitungsfunktion von g: g'(x)=(x+2)(x-2)
   g'(x)=x²-4
   (2) Gleichung einer Stammfunktion von g': g(x) = 3^-1x³ - 4x (x ∈ R)
   Begründen Sie die Richtigkeit dieser Lösungsschritte.
   Beschreiben Sie, wie mit diesem Lösungsverfahren die Gleichungen aller ganzrationalen Funktionen dritten Grades ermittelt werden können, welche die Extremstellen x_E1 = -2 und x_E2 = 2 besitzen.
   Erreichbare BE-Anzahl: 4

In einem kartesischen Koordinatensystem ist für jedes a ∈ R eine Ebene E_a gegeben durch E_a : (2 - 2 a)·x + 4 y + (a + 1)·z = 3 + 7 a.

1. Ermitteln Sie einen Näherungswert für den Schnittwinkel der Ebene E₃ mit der z-Achse.
   Es existieren genau zwei Werte a so, dass die zugehörigen Ebenen E_a die z-Achse unter einem Winkel von 30° schneiden.
   Bestimmen Sie für jeden Wert a einen Näherungswert.
   Ermitteln Sie denjenigen Wert a, für den die zugehörige Ebene E_a senkrecht zur x-y-Koordinaten­ebene verläuft.
   Untersuchen Sie, ob ein Wert a existiert, so dass die zugehörige Ebene E_a den Koordinatenursprung enthält. Erreichbare BE-Anzahl: 10

2. Weisen Sie nach, dass sich alle Ebenen E_a in einer gemeinsamen Geraden s schneiden.
   Erreichbare BE-Anzahl: 5

3. Es gibt genau einen Wert a, für den der Betrag des Abstands d der Ebene E_a zum Koordinatenursprung ein lokales Maximum besitzt.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für diesen Wert a und geben Sie einen Näherungswert für diesen Abstand an. Erreichbare BE-Anzahl: 4

4. Für jedes c ∈ R ist eine Gerade g_c gegeben durch .
   Untersuchen Sie, für welche Werte von c und a
   I. die Gerade g_c in der Ebene E_a liegt,
   II. die Gerade g_c mit der Ebene E_a keinen gemeinsamen Punkt besitzt,
   III. die Gerade g_c die Ebene E_a schneidet. Erreichbare BE-Anzahl: 6

Bei einer Wahl gibt es genau fünf Wahlkreise. Jeder Wahlberechtigte dieser Wahlkreise hat genau eine Zweitstimme, die er nur für jeweils genau eine Partei abgeben kann.
Bei dieser Wahl erzielt die Partei A in den existierenden Wahlkreisen folgende Ergebnisse:

Wahlkreis	I	II	III	IV	V
Anteil der Wähler des Wahlkreises bezüglich der Gesamtwählerzahl in Prozent	25,7	9,4	25,5	21,8	17,6
Anteil. der Stimmen für die Partei A In Prozent	9,8	6,9	5,2	7,7	16,1

Flüstergewölbe, z. B. im Capitol in Washington oder in der Londoner St. Paul's Cathedral, sind Meisterleistungen der Architektur.

Die Abbildung zeigt den zur Ordinatenachse symmetrischen Querschnitt eines Gewölbes, dessen eine Begrenzungslinie durch den Graphen der Funktion f mit in einem ebenen kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden kann (1 Längeneinheit entspricht 1 Meter). Schallwellen werden entsprechend der Abbildung an der Gewölbedecke reflektiert.

1. 
   Abbildung 1: Skizze nicht maßstabgerecht

   
   Das Deckengewölbe besitzt eine kreisförmige Grundfläche, wobei jeder senkrechte Schnitt durch den Mittelpunkt dieser Grundfläche eine Schnittfläche erzeugt, die zu der Fläche aus obiger Abbildung kongruent ist.
   Berechnen Sie einen Näherungswert für das Volumen des Gewölbes. Erreichbare BE-Anzahl: 3

2. Weisen Sie nach, dass die Gerade mit der Gleichung
   
   Tangente an den Graphen von f im Punkt P₀ (x₀ | f(x₀)) ist. Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Eine vom Punkt A (11,0; 0,0) ausgehende Schallwelle wird an der Decke im Punkt B(9,0 | f(9,0)) reflektiert.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für die Abszisse des Punktes, in dem die reflektierte Welle die Abszissenachse trifft. Erreichbare BE-Anzahl: 5

4. Eine vom Punkt D(4,8 | 0,0) ausgehende Schallwelle soll an der Decke in sich selbst reflektiert werden.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für die Größe des Winkels, den diese Welle mit der positiven Abszissenachse einschließen muss. Erreichbare BE-Anzahl: 4

Abbildung 2: Skizze nicht maßstäblich

Ein Raumflugkörper besteht aus einem Rumpf und einem kegelförmigen Kopf.

In einem kartesischen Koordinatensystem befindet sich die Spitze im Punkt S (0,00 | 1,50). Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

Der Rumpf mit der Länge h_R entsteht durch Rotation des durch die Punkte P₂ und O₂ begrenzten Parabelsegments einer Parabel p um die Ordinatenachse, welche auch die Symmetrieachse des

Raumflugkörpers ist.

Die Abbildung zeigt einen Achsenschnitt des Raumflugkörpers. Die Gerade durch die Punkte S und P₂ ist Tangente an die Parabel p im Punkt P₂ (0,50 | 0,00).

1. Ermitteln Sie eine Gleichung der Parabel p. Erreichbare BE-Anzahl: 4

2. Der Inhalt der Grundfläche des kegelförmigen Kopfes verhält sich zum Flächeninhalt des Rumpfabschlusses mit dem Durchmesser wie 1:9.
   Berechnen Sie die Rumpflänge h_R dieses Raumflugkörpers. Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Für eine bestimmte Mission soll der Kopf des Raumflugkörpers einen kugelförmigen Satelliten aufnehmen. Die Wandstärke des Flugkörpers bleibt unberücksichtigt.
   Berechnen Sie einen Näherungswert für den maximalen Radius, den der Satellit haben kann.
   Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Für eine andere Mission soll dem kegelförmigen Kopf des Raumflugkörpers ein Zylinder so einbeschrieben werden, dass der Oberflächen inhalt des Zylinders maximal wird.
   Berechnen Sie einen Näherungswert für das Volumen dieses Zylinders. Erreichbare BE-Anzahl: 5