Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = ln(x)·(ln(x) - 2) (x ∈ D_f).

1. Geben Sie von der Funktion f den größtmöglichen Definitionsbereich, Näherungswerte für die Koordinaten des lokalen Extrempunkts, die Art des lokalen Extrempunkts sowie den Wertebereich an.
   Berechnen Sie ohne Verwendung von Näherungswerten die Nullstellen der Funktion f.
   Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitungsfunktion f'' von f gilt:.
   Begründen Sie, dass die Funktion f höchstens eine Wendestelle besitzt. Erreichbare BE-Anzahl: 10

2. In jedem Schnittpunkt des Graphen der Funktion f mit der x-Achse existiert genau eine Tangente an den Graphen der Funktion f. Diese Tangenten und die x-Achse begrenzen ein Dreieck vollständig.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Erreichbare BE-Anzahl: 5

3. Für jedes u (u ∈ R; u > e) begrenzen der Graph der ersten Ableitungsfunktion f' von f, die Gerade x = u und die x-Achse eine Fläche vollständig.
   Ermitteln Sie den Wert u so, dass der Inhalt dieser Fläche 1 beträgt. Erreichbare BE-Anzahl: 4

4. Die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit der x-Achse und der lokale Extrempunkt des Graphen der Funktion f liegen auf dem Graphen einer quadratischen Funktion g.
   Für jedes v (v ∈ R; e ≤ v ≤ e²) schneidet die Gerade x = v den Graphen der Funktion f im Punkt P_v und den Graphen der Funktion g im Punkt Q_v.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert von v, für den die Länge der Strecke größtmöglich wird.
   Erreichbare BE-Anzahl: 4

5. Für jedes a (a ∈ R; a > 0) ist eine Funktion h_a gegeben durch h_a(x) = f(x+a) (x ∈ D_ha).
   Beschreiben Sie, wie aus den Nullstellen der Funktion f die Nullstellen der Funktion h_a ermittelt werden können. Erreichbare BE-Anzahl: 2

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(8 | 6 | 2), B(2 | 14 | 2), C(- 6 | 8 | 2), D(0 | 0 | 2) und H(1 | 7 | 7) sowie für jedes a (a ∈ R) ein Punkt T_a(3^-1·a | a+4 | -a) gegeben.

1. Geben Sie eine Gleichung der Ebene E in allgemeiner Form an, in der die Punkte A, Bund C liegen.
   Beschreiben Sie die Lage dieser Ebene im kartesischen Koordinatensystem.
   Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.
   A, B, C, D und H sind Eckpunkte einer Pyramide mit der Grundfläche ABCD.
   Stellen Sie die Pyramide in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem dar.
   Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
   Geben Sie die Koordinaten eines von H verschiedenen Punktes P so an, dass die Pyramiden ABCDP und ABCDH volumengleich sind. Erreichbare BE-Anzahl: 8

2. Geben Sie den Wert a an, für den der Punkt Ta in der Ebene E aus Aufgabenteil a) liegt.
   Ermitteln Sie eine Darstellung des Vektors als Linearkombination der Vektoren und .
   Begründen Sie, dass der Punkt T_-2 im Inneren des Vierecks ABCD liegt. Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Es gibt genau einen Punkt T_a so, dass die Gerade durch die Punkte H und T_a senkrecht zu der durch die Punkte A, Bund C gebildeten Ebene verläuft.
   Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Punktes T_a. Erreichbare BE-Anzahl: 3

In den vergangenen Jahren nahmen immer mehr sächsische Schüler an dem jeweils im März stattfindenden "Känguru-Wettbewerb" teil. In diesem mathematischen Wettbewerb werden 30 Aufgaben mit jeweils 5 Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist, gestellt.

Die Teilnehmer einer Arbeitsgemeinschaft (AG) Mathematik trainieren anhand von Aufgabenserien früherer Jahre für den neuen Wettbewerb. Dabei legt der AG-Leiter fest, dass bei jeder Aufgabe genau eine Antwortmöglichkeit angekreuzt werden muss.

1. Geben Sie an, wie viele verschiedene Möglichkeiten der Anordnung der Kreuze auf dem Antwortzettel es gibt. Erreichbare BE-Anzahl: 1

2. Einige AG-Teilnehmer diskutieren ihre Erfolgsaussichten, wenn sie alle Kreuze zufällig setzen würden.
   Ermitteln Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
   A: Genau zehn Antworten sind richtig.
   B: Mehr als 3, aber höchstens 8 Antworten sind richtig.
   C: Mehr Antworten sind richtig, als man erwarten kann. Erreichbare BE-Anzahl: 5

3. Die Aufgaben sind in drei Gruppen zu je 10 Aufgaben eingeteilt. AG- Teilnehmerin Simone weiß aus Erfahrung, dass sie eine Aufgabe der Aufgabengruppe 1 (Aufgabennummern 1 bis 10) mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %, eine Aufgabe der Gruppe 2 (Aufgabennummern 11 bis 20) mit 70 % und eine Aufgabe der Gruppe 3 (Aufgabennummern 21 bis 30) immerhin noch mit 65 % richtig löst.
   Das Ankreuzen der Antworten erfolgt in der Reihenfolge der gestellten Aufgaben.
   Ermitteln Sie für Simone die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
   D: Simone kreuzt bei allen Aufgaben die richtige Lösung an.
   E: Simone begeht ihren ersten Fehler in der Aufgabe mit der Nummer 12.
   F: Simone kreuzt bei allen Aufgaben der Gruppe 2 die richtige Lösung an.
   G: Simone löst alle Aufgaben der Gruppen 1 und 2 richtig und genau zwei Aufgaben der Gruppe 3 falsch. Erreichbare BE-Anzahl: 4

Die nebenstehende Abbildung (nicht maßstäblich) zeigt den Querschnitt des Mauerwerks eines geraden Tunnels mit der Länge 800 m.

Die Begrenzung dieses Querschnitts kann in einem ebenen kartesischen Koordinatensystem (1 Einheit entspricht 1 Meter) durch Graphen zweier quadratischer Funktionen und Strecken beschrieben werden.

Der Querschnitt ist symmetrisch zur y-Achse.

Alle Maßangaben in Meter.

1. Ermitteln Sie tür jede der quadratischen Funktionen eine Gleichung und geben Sie den jeweils zugehörigen Detinitionsbereich an.
   Bestimmen Sie einen Näherungswert tür den Inhalt der Querschnittsfläche des Mauerwerks.
   Erreichbare BE-Anzahl: 7

2. Die Decke des Tunnels soll innen isoliert werden.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert tür den Inhalt der zu isolierenden Fläche in Quadratmetern.
   Hinweis: Die Länge eines Kurvenstücks des Graphen einer Funktion bezeichnet man als Bogenlänge L. Die Bogenlänge Lf einer beliebigen Funktion t im Intervall a ≤ x ≤ b kann mit der Formel berechnet werden. Erreichbare BE-Anzahl: 3

Mit Hilfe eines Lasers können Bauteile vermessen werden. Dazu werden charakteristische Punkte dieser Bauteile mit Laserstrahlen auf eine Sensorfläche projiziert. Der Laserkopf wird als Ausgangspunkt des Laserstahls betrachtet.

Die quadratische Sensorfläche einer solchen Einrichtung befindet sich in einem kartesischen Koordinatensystem (1 Einheit entspricht 1 Zentimeter) in der x-z-Ebene. Sie wird vom positiven Teil der x- bzw. z-Achse begrenzt und hat eine Seitenlänge von 50,0 cm.

Von einem ebenflächig begrenzten Bauteil in der Form eines dreiseitigen Prismas mit aufgesetzter dreiseitiger Pyramide sind die Koordinaten seiner Eckpunkte A(7,0 | 6,0 | 0,0), B(12,0 | 8,0 | 0,0), C(4,0 | 9,0 | 0,0), D(7,0 | 6,0 | 10,0), E(12,0 | 8,0 | 7,0) und F(4,0 | 9,0 | 7,0) bekannt.

1. Stellen Sie das Bauteil ABCDEF in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem dar.
   Berechnen Sie das Volumen dieses Bauteils. Erreichbare BE-Anzahl: 3

2. Für eine Messung befindet sich der Laserkopf im Punkt Q (2,0 | 12,5 | 8,0 ).
   Geben Sie die Koordinaten des bei Projektion des Punktes D in die Sensorfläche entstehenden Bildpunktes D_Q an.
   Bei einer weiteren Messung entsteht bei Projektion des Punktes D in die Sensorfläche der Bildpunkt D_R (4,0 | 0,0 | 8,0 ).
   Beschreiben Sie, wie die Koordinaten eines möglichen Punktes R für den Ort des Laserkopfes ermittelt werden können. Geben Sie die Koordinaten eines solchen Punktes R an.
   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Der Laserkopf bewegt sich bei einer anderen Messung in einem konstanten Abstand von 10,0 cm zur x-y-Ebene auf einer kreisförmigen Bahn mit dem Mittelpunkt M(9,0 | 4,0 | 10,0 )und einem Radius von 3,5 cm.
   Der Punkt D soll durch den Laserstrahl auf der Sensorfläche abgebildet werden.
   Ermitteln Sie Näherungswerte für die x- und y-Koordinaten der beiden Punkte des Kreises, die den Kreisbogen begrenzen, auf dem sich der Laserkopf dazu bewegen muss. Erreichbare BE-Anzahl: 4