Gegeben ist eine Funktion f durch y = f(x) = (x ∈ D_f).

1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an.
   Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion f und geben Sie das Verhalten der Funktion f im Unendlichen an.
   Geben Sie Näherungswerte für die Koordinaten der beiden lokalen Extrempunkte sowie deren Art und Näherungswerte für die Koordinaten der drei Wendepunkte des Graphen der Funktion f an.Erreichbare BE-Anzahl: 7

2. Die Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt S(½ | f(½)) und der Graph von f begrenzen eine Fläche vollständig.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für den Inhalt dieser Fläche.Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Für jedes u (u ∈ R; u > 0) sind die Punkte A(0 | 0), B(3 | 0) und C_u(u | f(u)) Eckpunkte eines Dreiecks. Die x-Koordinate des lokalen Maximumpunktes des Graphen der Funktion f ist x_MAX.
   Begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABC_u für u = x_MAX maximal wird.
   Berechnen Sie alle Werte u, für die das Dreieck ABC_u den Flächeninhalt 1 besitzt.Erreichbare BE-Anzahl: 5

4. Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F(x) = ¾ ln(2 x² + 1) (x ∈ R) eine Stammfunktion von f ist.
   Der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Gerade x = 2 begrenzen eine Fläche vollständig.
   Weisen Sie nach, dass die Gerade x = 1 den Inhalt dieser Fläche halbiert.Erreichbare BE-Anzahl: 5

5. Für jedes a (a ∈ R; a ≠ 0) ist eine Funktion g_a durch g_a(x) = a f(x) (x ∈ R) gegeben.
   Ermitteln Sie den Wert a, für den die Tangente an den Graphen der Funktion g_a an der Stelle x = 1 parallel zur Geraden y = x + 2 verläuft.Erreichbare BE-Anzahl: 4

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(5 | -1 | 0), B(5 | 6 | 0), C(4 | 5 | 3),
D(4 | 0 | 3) und P(-5 | 7 | 0) gegeben. Die PunkteA, B, C und D liegen in ein und derselben Ebene.

1. Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD ein gleichschenkliges Trapez ist.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes.
   Auf der Seite AB des Trapezes ABCD existiert genau ein Punkt F so, dass das Viereck AFCD ein Parallelogramm ist.
   Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes F. Erreichbare BE-Anzahl: 7

2. Auf der Geraden durch die Punkte A und D existiert genau ein Punkt Q so, dass das Dreieck ABQ gleichschenklig mit der Basis AB ist.
   Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q.
   Geben Sie einen Näherungswert für die Größe des Basiswinkels a des Dreiecks ABQ an. Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Jemand soll die Koordinaten eines auf der Geraden g durch die Punkte Bund P liegenden Punktes R ermitteln, der vom Punkt B den Abstand 2√101 hat.
   Er schlägt folgende Lösungsschritte vor:

   1. Ermitteln des Vektors .

   2. Ermitteln des zum Vektor gehörenden Einheitsvektors .

   3. Verlängern des Vektors um den Faktor 2√101.

   4. Der so erhaltene Vektor ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes R.
      Treffen Sie für jeden der Lösungsschritte eine begründete Aussage über seine Richtigkeit und korrigieren Sie gegebenenfalls falsche Schritte. Erreichbare BE-Anzahl: 4

Das Fahrradfachgeschäft "Flotte Speiche" führt in seinem Angebot ausschließlich die Radtypen Citybike, Mountainbike, Trekkingbike und Rennrad. Aus Erfahrung weiß der Besitzer, dass sich unter den Kaufinteressenten 40% über ein Citybike, 35% über ein

Mountainbike, 2% über ein Rennrad und die restlichen über ein Trekkingbike

informieren. Dabei informiert sich jeder Interessent nur über genau einen Fahrradtyp.

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

   1. Von zwei aufeinanderfolgenden Interessenten informiert sich der erste über ein Mountainbike und der zweite über ein Citybike.

   2. Von 20 Interessenten informieren sich mindestens 8 über ein Citybike.

   3. Von aufeinanderfolgenden Interessenten informiert sich erstmals der siebente über ein Trekkingbike. Erreichbare BE-Anzahl: 4

2. Berechnen Sie, wie viele Kaufinteressenten sich mindestens informieren müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich wenigstens eine Person über ein Rennrad informiert, mehr als 90% beträgt. Erreichbare BE-Anzahl: 2

3. Jeder zweite Interessent kauft - unabhängig vom Fahrradtyp - dann auch bei dem Fahrradfachhändler den Fahrradtyp, über den er sich informiert hat. Dabei gelten bei diesem Händler folgende durchschnittliche Preise:
   Citybike 300,00 €
   Mountainbike 350,00 €
   Trekkingbike 400,00 €
   Rennrad 1000,00 €
   Ermitteln Sie, welche Einnahme je Interessent der Händler erwarten kann. Durch Erhöhung des durchschnittlichen Preises für ein Citybike möchte der Händler die Einnahme je Interessent um 4% steigern.
   Bestimmen Sie den erhöhten durchschnittlichen Preis für ein Citybike. Erreichbare BE-Anzahl: 4

Abbildung 1: Skizze (nicht maßstäblich)

Von einem rechteckigen Spiegel ist ein Stück abgebrochen. Die Bruchlinie kann in einem gedachten kartesischen Koordinatensystem näherungsweise durch eine quadratische Parabel, die in einem Eckpunkt des Rechtecks ihren Scheitelpunkt hat, beschrieben werden (Maße siehe Skizze).

1. Ermitteln Sie einen Näherungswert für den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des kleineren Bruchstücks vom Flächeninhalt des ursprünglichen Spiegels. Erreichbare BE-Anzahl: 4

2. Aus dem kleineren der beiden Bruchstücke soll ein rechteckiger Spiegel mit möglichst großem Flächeninhalt hergestellt werden.
   Ermitteln Sie Näherungswerte für die Abmessungen dieses Spiegels. Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Aus dem großen Bruchstück soll ein trapezförmiger Spiegel mit möglichst großem Flächeninhalt hergestellt werden.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für diesen größtmöglichen Flächeninhalt.
   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Die Deutsche Lebensrettungsgesellschaft führt eine Übung durch. Dazu soll ein Rettungsschwimmer vom Fuß eines Beobachtungsturms am Strand geradlinig zum Ufer rennen und anschließend wiederum geradlinig zu einer Boje, die einen Verunglückten simulieren soll, schwimmen.

In einem gedachten kartesischen Koordinatensystem (1 Einheit entspricht 1 Meter) steht der Fußpunkt des Beobachtungsturms im Koordinatenursprung. Die Boje befindet sich im Punkt B(60 | 295).

Die im interessierenden Abschnitt annähernd geradlinig verlaufende Uferlinie kann durch die Gerade g durch die Punkte P₁(0 | 64) und P₂(195 | 220) beschrieben werden.

Die als konstant angenommenen Geschwindigkeiten des Rettungsschwimmers

betragen am Strand 6,4 m/s und im Wasser 1,6 m/s.

1. Im Vorfeld der Übung diskutieren die Rettungschwimmer unterschiedliche Rettungsstrategien.
   Strategie I: Wahl des kürzesten Weges zwischen Beobachtungsturm und Boje
   Strategie 11: Lauf zu dem Punkt der Uferlinie, der zur Boje die kürzeste Entfernung besitzt und anschließendes Schwimmen zur Boje
   Ermitteln Sie für beide Strategien Näherungswerte für die benötigte Zeit. Erreichbare BE-Anzahl: 6

2. Ziel des Einsatzes ist es, in kürzester Zeit zur Boje zu gelangen.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für diese Zeit sowie Näherungswerte für die Koordinaten des Punktes der Uferlinie, in dem der Rettungsschwimmer ins Wasser müsste. Erreichbare BE-Anzahl: 4