Mathe Abitur Leistungskurs 2005 
09. Feb 2012 © Frank Müller 
| PäPIKK Mathe Abitur Leistungskurs 2005 |
09. Feb 2012 © Frank Müller |
Lösungen und Bewertung |
Aufgabenstellung --- Lösungen: Teil A, B, W1 und 2 --- home |
| Erläuterungen | BE | |
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| a | größtmöglicher Definitionsbereich: Df = R\{0} Existenznachweis für Nullstellen: fa(x0) = 0 ⇒ x0½ = ±√a Einzigkeitsnachweis für Nullstellen: wegen a > 0 gibt es genau zwei Nullstellen Ansatz für Symmetrie: fa(-x) = -fa(x) Nachweis der Symmetrie: punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung 1. Ableitung:  2. Ableitung:  Nachweis für Wendepunkte: hat keine Nullstellen und 0 ∉ Df (Symmetrie) |
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| b | Ansatz für Extremstellen: fa'(xE) = 0 Extremstellen: xE = ±e-1√a lokale Extrema: yE = &pludmn;2e-1√a Ansatz für Wert a: A(a) = |4·xE·yE| = 8e-2a = 12 Umformungen Wert a: a = 3/2 e² |
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| c | Art der Vierecksfläche: Trapez Begründung für Art der Vierecksfläche: Tangente im lok. Minima ist parallel zu Abszisse Gleichung der Tangente im lokalen Minimumpunkt: tMin: y = -2e-1√a Gleichung der Tangente im Punkt Pa(√a | fa(√a)): tPa: y = 2x -2√a Abszisse des Schnittpunktes der Tangenten: xS = (1-e-1)√a Ansatz für Wert a: ATrapez = ARechteck + ADreieck = e-2 Wert a:  |
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| d | Ansatz für Fläche:  GTR1: solve(abs(fnInt(Y1,X,.5√A,√A))-(3+ln(.25)),A,1) &rar a = 8etwas einfacher, wenn das Vorzeichen des Integrals beachtet wird: solve(fnInt(Y1,X,.5√A,√A)+3+ln(.25),A,1)aus „Scönheitsgründen“:Integration durch Substitution  Ermittlung einer Stammfunktion (3 BE) Ansatz für Wert a: siehe Ansatz für Fläche Umformungen (2 BE) Wert a: a = 8 |
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| e | Begründung für Drachenviereck (2 BE): ∠MPN = ∠NBM = 90° ⇒ Sehnenviereck mit  als Durchmesser =  = r (nach Voraussetzung)Variante I: grafisches Vorgehen – geht am schnellsten ges.: r - Kreisradius den Nebenbedingungen ergibt sich die Kreisgleichung k: (x – r)² + (y + 1)² = r² soll der Kreis eingezeichnet werden, ist es notwendig k in zwei Funktionen zu zerlegen: y = -1 ± √(r² – (x – r²)) = -1 ± √(2rx – x²) davon interessiert nur der obere Teil: Y1 = f1(x); Y2 = -1+√(2RX-X²) durch Zuweisen von Werten im Display z. B.: .275→R und Anzeigen der Graphen, kann ein Näherungswert ermittelt werden Variante II: viel Spaß beim Rechnen M(r | 1); B(xB | f1(xB)); t – Tangente in B an f1; n – Normale in B k: (x – r)² + (y + 1)² = r² t: y = t(x) = 2(ln xB + 1)·x – 2xB n:  Schnittpunkt der Normalen mit y = -1: xM = r = 4·xB·ln² xB + (4·xB + 2)·ln xB + xB + 2 = r und  = r⇒ (xB – r)² + (yB + 1)² = r² ⇒ -4xB²·ln² xB – 8xB²·ln xB – xB² – 4·xB + 1 = 0 → xB = 0.33088 → r = 0.27405 Anstieg der Tangente t an den Graphen von f1 im Punkt B Ordinate des Punktes N Ansatz für Radius des Kreises k Näherungswert für Radius des Kreises: r ≈ 0,27 |
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1Die beiden Zeilen sollten zum Erreichen der 8 BE ausreichen. FM
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