PäPIKK  weiter  Mathe  weiter  Abitur weiter Leistungskurs 2005    Streifen  24. May 2012  ©  Frank Müller  Streifen  SBS  Streifen

abiturähnliche Aufgaben

Teil A: Analysis

Erwartungsbild --- Teil A, B, W1 und W2--- home

Für jedes a (a ∈ R, a > 0) ist eine Funktion fa durch gegeben.

  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion fa an.
    Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Funktion fa genau zwei Nullstellen besitzt.
    Untersuchen Sie den Graphen der Funktion fa auf Symmetrie.
    Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion fa keine Wendepunkte besitzt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 8

  2. Der Graph der Funktion fa besitzt genau zwei lokale Extrempunkte. Diese Extrempunkte sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks.
    Ermitteln Sie den Wert a, für den dieses Rechteck einen Flächeninhalt von 12 besitzt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  3. Die Abszissenachse, die Tangente an den Graphen von fa im Punkt Pa(√a | fa(√a)) sowie die Tangente und die Normale an den Graphen von fa im lokalen Minimumpunkt begrenzen eine Vierecksfläche vollständig.
    Nennen Sie die Art der entstehenden Vierecksfläche. Begründen Sie.
    Berechnen Sie ohne Verwendung von Näherungswerten den Wert a, für den der Inhalt dieser Fläche e-² beträgt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 7

  4. Der Graph der Funktion fa und die Abszissenachse begrenzen für eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Wert a. für den der Inhalt dieser Fläche beträgt.
    Hinweis: ∫ ln x dx = x·( ln x − 1) + c (c ∈ R)

    Erreichbare BE-Anzahl: 8


  5. Abbildung 1: nicht maßstäblich

    Ein im vierten Quadranten liegender Kreis k mit dem Mittelpunkt M berührt die Ordinatenachse im Punkt P(0 | -1) und außerdem den Graphen der Funktion f1 im Punkt B(xB | f1(xB)). Die Tangente t an den Graphen der Funktion f1 im Punkt B schneidet die Ordinatenachse im Punkt N (siehe Abbildung 1).
    Begründen Sie, dass das Viereck PMBN ein Drachenviereck ist.
    Ermitteln Sie einen Näherungswert für den Radius des Kreises k.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

    Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

    Erwartungsbild --- Teil A, B, W1 und W2 --- home

    In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O sind die Punkte A(4 | 0 | 4); B(4 | 4 | 0) und für jedes a (a ∈ R) ein Punkt Ca(0 | a | 4) gegeben.

    1. Es existiert genau ein Wert a, so dass die Punkte O, A, Bund Ca nicht Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide sind.
      Ermitteln Sie diesen Wert a.

      Erreichbare BE-Anzahl: 4

    2. Es gibt eine Pyramide OABCa mit der Grundfläche OAB. bei der der Höhenfußpunkt mit dem Schwerpunkt der Grundfläche übereinstimmt.
      Ermitteln Sie das Volumen dieser Pyramide.

      Erreichbare BE-Anzahl: 7

    3. Durch den Mittelpunkt der Kante der Pyramide OABC4 verläuft eine Ebene, die parallel zu den Kanten und liegt.
      Zeigen Sie, dass die Schnittfigur zwischen dieser Ebene und der Pyramide OABC4 ein Quadrat ist.

      Erreichbare BE-Anzahl: 7

    4. Die Gerade h verläuft durch die Punkte A und B, die Gerade ga durch die Punkte B und Ca.
      Untersuchen Sie, ob ein Rechteck mit folgenden Eigenschaften existiert:
      (1) Die Diagonalen liegen auf den Geraden h und ga.
      (2) Der Punkt P(1 | - 2 | 3) ist ein Eckpunkt des Rechtecks.
      Berechnen Sie gegebenenfalls den Flächeninhalt des Rechtecks.

      Erreichbare BE-Anzahl: 7

    Wahlaufgaben

    Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

    Wahlaufgabe 1

    Erwartungsbild --- Teil A, B, W1 und W2 --- home

    Ein Kreis k heißt Schmiegekreis an den Graphen einer Funktion f im Punkt P genau dann, wenn gilt:

    1. P liegt auf k und dem Graphen von f.

    2. Die Werte der ersten Ableitung von kund f im Punkt P sind gleich.

    3. Die Werte der zweiten Ableitung von kund f im Punkt P sind gleich.

    1. Weisen Sie nach, dass der Schmiegekreis an den Graphen der Funktion f mit y=f(x)=x² (x ∈ R) im Punkt P(0 | 0) durch die Gleichung beschrieben werden kann.

      Erreichbare BE-Anzahl: 4

    Wenn für einen Punkt P(xp | f(xp)) ein Schmiegekreis an den Graphen der Funktion f existiert, dann gilt für den Radius dieses Kreises: .

    1. Ermitteln Sie eine Gleichung des Schmiegekreises an den Graphen der Funktion g mit
      y=g(x)= ½x² + 4x − 1 (x ∈ R) im Punkt P(-3 | g(-3)).

      Erreichbare BE-Anzahl: 5

    2. Für jedes a (a ∈ R, a > 0) ist eine Funktion ga durch y=ga(x)= ½ x² + ax − 1 (x ∈ R) gegeben.
      Für jeden Punkt Pa(x | ga(x)) existiert genau ein Schmiegekreis an den Graphen der Funktion ga.
      Begründen Sie, dass der Schmiegekreis im Scheitelpunkt des Graphen der Funktion ga den minimalen Radius aller dieser Kreise besitzt.
      Bestimmen Sie eine Gleichung des Schmiegekreises ka im Scheitelpunkt des Graphen der Funktion ga.

      Erreichbare BE-Anzahl: 6

    Wahlaufgabe 2

    Erwartungsbild --- Teil A, B, W1 und W2 --- home

    Ein 8,00 m langes Förderband transportiert Schutt mit einer Geschwindigkeit v0 (in m/s). Es ist gegenüber der Horizontalen unter einem Winkel α (0° < α < 60°) geneigt. Befindet sich der Schutt am Ende des Förderbandes (Abwurfpunkt), bewegt er sich nach dem Abwurf annähernd auf einer parabelförmigen Bahn.
    In einem kartesischen Koordinatensystem (1 Einheit = 1 Meter) mit dem Ursprung im Abwurfpunkt kann diese Bahn in der Ebene x = 0 durch die Gleichung

    (y in m; g ≈ 9,81 m/s²)

    beschrieben werden.

    1. Ermitteln Sie, unter welchem Winkel zur Horizontalen der Schutt auf einen bereitgestellten LKW trifft, wenn der Auftreffpunkt 1,50 m höher als der Anfangspunkt des Förderbandes liegen soll und das Förderband auf α = 20° und v0 = 2,20 m/s eingestellt ist.

      Erreichbare BE-Anzahl: 6

    2. Der zu beladende LKW soll möglichst weit vom Förderband entfernt stehen.
      Die „Flugweite“ des Schuttes ist maximal, wenn der Schutt unter einem Winkel von 45° auftrifft. Der Auftreffpunkt soll 40 cm tiefer als der Abwurfpunkt des Förderbandes liegen. Das Förderband ist auf eine Geschwindigkeit von v0 = 3,00 m/s eingestellt.
      Ermitteln Sie für diesen Fall die Größe des Winkels α, so dass die Flugweite des Schuttes maximal wird.

      Erreichbare BE-Anzahl: 5

    3. Der Anfangspunkt (A) des Förderbandes befindet sich in der Ebene E mit der Gleichung z = -4.
      Für den Winkel α = 30° und einer bestimmten Förderbandgeschwindigkeit v0 beträgt die Wurfweite bis zum Auftreffen des Schuttes in der Ebene E 1,75 m.
      Das Förderband soll nun aus seiner Lage in der y-z-Koordinatenebene um einen horizontalen Winkel von γ = 20° nach bei den Seiten um den Punkt A gedreht werden.
      Dabei landet der Schutt in der Ebene E auf dem Kreisbogen .
      Untersuchen Sie, ob der Punkt P(-2 | 0 | -4) im zum Kreisbogen gehörigen Kreissektor AGH liegt.

      Erreichbare BE-Anzahl: 4

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