PäPIKK    Mathe    Abitur  Grundkurs 2005

24. May 2012  ©  Frank Müller

abiturähnliche Aufgaben

Gegeben ist eine Funktion f durch (x ∈ R).

1. Begründen Sie, dass die Funktion f genau eine Nullstelle besitzt.
   Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f keine senkrechte Asymptote hat und geben Sie eine Gleichung der waagerechten Asymptote an.
   Der Graph der Funktion f besitzt genau einen lokalen Extrempunkt.
   Zeigen Sie auch mithilfe der ersten Ableitungsfunktion von f, dass dieser die Koordinaten besitzt.
   Geben Sie die Art des Extremums an.
   Der Graph der Funktion f besitzt genau einen Wendepunkt.
   Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Wendepunktes.

   Erreichbare BE -Anzahl: 10

2. Geben Sie die Monotonieintervalle des Graphen der Funktion f und die jeweils zugehörige Art der Monotonie an.
   Begründen Sie Ihre Entscheidungen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Die Gerade g verläuft durch den lokalen Extrempunkt des Graphen von f und den Koordinatenursprung.
   Der Graph der Funktion f und die Gerade g schließen eine Fläche vollständig ein. Die x - Achse teilt diese Fläche in zwei Teilflächen.
   Untersuchen Sie, ob sich die Inhalte der bei den Teilflächen wie 1: 3 verhalten.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

4. Es existieren Tangenten an den Graphen der Funktion f, die senkrecht zur Geraden h mit
   y = h(x) = -e·x verlaufen.
   Ermitteln Sie eine Gleichung einer dieser Tangenten.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

5. Für jedes a (a ∈ R, a > 0) schneidet der Graph der Funktion f_a mit
   (x ∈ R) den Graphen der Funktion w mit (x ∈ R) in genau einem Punkt P_a.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für a, für den der Punkt Pa einen minimalen Abstand vom Koordinatenursprung besitzt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O sind die Vektoren , und gegeben.

1. Nennen Sie drei Eigenschaften eines Vektors.
   Weisen Sie nach, dass die Vektoren a und b in keiner dieser Vektoreigenschaften übereinstimmen.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

2. Zeigen Sie, dass der Vektor nicht als Linearkombination der Vektoren und darstellbar ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

3. Gegeben sind die Koordinaten des Punktes S(1 | 1 | 5) sowie die Punkte A, B und C durch , und .
   Begründen Sie, dass eine Begrenzungsfläche der Pyramide ABCS in der x-y-Koordinatenebene liegt.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Für jedes a (a ∈ R) sind die Punkte S_a(1 | a | 4a² + 1), A(0 | 3 | 0), B(3 | 0 | 0) und C(2 | 5 | 0) Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide.

4. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide in Abhängigkeit von a.
   Bestimmen Sie alle Werte a so, dass das Volumen der Pyramide 20 beträgt.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

5. Untersuchen Sie, ob ein Wert a existiert, so dass der Punkt P( 1/3 | 3 | 12 ) auf der Kante liegt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Mit einem umgebauten Airbus A 300 führt die europäische Luft- und Raumfahrtbehörde ESA sogenannte "Parabelf1üge" zur Simulation der Schwerelosigkeit durch.
Ein solcher Flug (siehe Abbildung) kann in drei Phasen unterteilt werden:
Phase 1: Steilflug von 7500 m auf 8700 m Höhe |
Phase 2: Airbus bewegt sich auf einer Parabel, Scheitelpunkt in einer Höhe von 10000 m |
Phase 3: Abfangen der Maschine.

In einem kartesischen Koordinatensystem (1 Einheit = 1 Meter) beschreiben die Koordinaten x, y und z die Flugkurve des A 300 im Raum.
Der Airbus wird vom Flugleitzentrum zu unterschiedlichen Zeitpunkten der Phase 2 in den folgenden Punkten geortet: P₁(0 | 4000 | 8700) , P₂(0 | 6000 | 10000) , P₃(0 | 8000 | 8700)

1. Die Phase 2 des Gesamtfluges soll mathematisch beschrieben werden.
   Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in der sich die Parabelbahn des Airbusses befindet.
   Geben Sie eine Gleichung der Flugparabel z(y) an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Geben Sie Bedingungen für den Graphen einer Funktion an, die die Flugbahn des Airbusses in Phase 3 beschreiben kann.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

Ein Beobachtungsf1ugzeug bewegt sich geradlinig in x - Richtung in einer konstanten Flughöhe von 8000 m senkrecht unter dem Scheitelpunkt der Flugbahn des Airbusses hindurch.

3. Geben Sie eine Gleichung für die Flugbahn des Beobachtungsflugzeuges an und begründen Sie.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Bestimmen Sie den minimalen Abstand der Flugbahnen des Beobachtungsf1ugzeuges und des Airbusses in der Phase 2.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Auf einem Abenteuerspielplatz ist die Attraktion ein 3 m hoher, gerader Kletterstamm. In einem kartesischen Koordinatensystem (1 Einheit ~ 1 Meter) befindet sich der Fuß des Stammes im Koordinatenursprung.
Der Kletterstamm befindet sich auf dem positiven Teil der z - Achse, der Spielplatz in der x-y-Koordinatenebene.
Im Laufe eines Tages „wandert“ der Schatten des Kletterstammes über den Spielplatz.

1. Um 11.00 Uhr fällt das Sonnenlicht entlang der Richtung auf den Spielplatz.
   Berechnen Sie die Länge des Schattens des Kletterstammes zu diesem Zeitpunkt.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Die Spitze des Schattens des Kletterstammes beschreibt in einem begrenzten Zeitraum des Tages auf dem Spielplatz näherungsweise eine quadratische Parabel.
Um 12.00 Uhr befand sich die Schattenspitze im Punkt A(0 | 3 | 0), um 13.30 Uhr im Punkt
B(3 | 4 | 0) und um 14.00 Uhr im Punkt C(4 | 4,5 | 0).

2. Berechnen Sie die vom Schatten des Stammes in der Zeit von 12.00 bis 14.00 Uhr überstrichene Fläche.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Ein geradliniger Balancierbalken verläuft zwischen den Punkten D(2,5 | 1 | 1) und E(0 | 4 | 1).
   Untersuchen Sie, ob um 14.00 Uhr der Schatten des Kletterstammes den Balancierbalken trifft.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Copyright © F. Müller eine private Seite auf dem Sächsischen Bildungsserver zuletzt geändert am 25 Mar 2007 15:18:38

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