PäPIKK    Mathe    Abitur  Grundkurs 2004

20. Mar 2010  ©  Frank Müller

Aufgabenstellungen

Gegeben sind die Funktionen f und F durch f(x) = (x + 1)²·e^1-x (x ∈ R) und
F(x)=-e^1-x·(x² + 4x + 5) (x ∈ R).

1. Geben Sie von der Funktion f die Nullstelle, die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und deren Art sowie die Koordinaten der Wendepunkte an.
   Weisen Sie rechnerisch nach, dass für alle x ∈ R gilt: 2·f(x) + F(x) + f'(x) = -2·e^1-x.
   Jede Gerade y = c (c ∈ R, c ≥ 0) hat mit dem Graphen der Funktion f gemeinsame Punkte.
   Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte in Abhängigkeit von c an.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 10

2. Die Tangente an den Graphen der Funktion f in dem Punkt P(2 | f(2)) schneidet die x-Achse im Punkt Q und die y-Achse im Punkt R.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks OQR (O ist der Koordinatenursprung).
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Gegeben ist die Funktion g durch g(x) = e^1-x (x ∈ R).
   Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich die Graphen der Funktionen f und g in genau 2 Punkten schneiden.
   Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte an.
   Für jedes u (u ∈ R, u > 0) schneidet die Gerade mit der Gleichung x = u den Graphen der Funktion f im Punkt M_u und den Graphen der Funktion g im Punkt N_u.
   Es existiert genau ein Wert u, für den die Länge der Strecke maximal wird.
   Ermitteln Sie diese maximale Streckenlänge.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

4. Weisen Sie nach, dass die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f ist.
   Für jedes a (a ∈ R, a > 0) begrenzen der Graph der Funktion f, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x = a eine Fläche vollständig.
   Geben Sie für a = 3,5 den Inhalt dieser Fläche an.
   Untersuchen Sie, ob ein Wert a existiert, für den der Inhalt der Fläche 5e beträgt.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(5 | -2 | -3), B(2 | 2 | -3), C(-6 | -4 | -3), D(-3 | -8 | -3) und F(2 | 2 | 2) gegeben.

1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

2. Die Punkte A, B, C, D und F sind Eckpunkte eines Quaders ABCDEFGH.
   Geben Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte des Quaders an.
   Berechnen Sie das Volumen dieses Quaders.
   Stellen Sie diesen Quader in einem kartesischen Koordinatensystem dar.
   Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen der Raumdiagonalen und der Flächendiagonalen .

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

Die Quaderkante und der Mittelpunkt der Strecke liegen in der Ebene E.

3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in allgemeiner Form.
   Begründen Sie, dass die Ebene E parallel zur z-Koordinatenachse liegt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Die Ebene E zerschneidet den Quader ABCDEFGH in zwei Teilkörper.
   Begründen Sie, dass das Verhältnis der Volumen der beiden entstehenden Teilkörper 1:3 beträgt.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt der Schnittfläche.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Felix hat ein Buchstabenlegespiel erhalten. In einem Säckchen befinden sich 16 gleichartige Spielsteine. Auf jedem ist genau ein Buchstabe aufgedruckt, auf sieben Steinen der Buchstabe A, auf vier der Buchstabe L, auf drei der Buchstabe T und auf zwei der Buchstabe R.
Felix probiert verschiedene Spielvarianten aus.

1. Bei der ersten Spielvariante zieht Felix ohne Zurücklegen drei Steine. Er legt diese, die aufgedruckten Buchstaben lesbar, von links beginnend auf den Tisch.
   Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür an, dass die gezogenen Buchstaben das Wort "RAT" bzw. das Wort "AAL" ergeben.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Bei der zweiten Spielvariante zieht Felix mit einem Griff drei Steine.
   Geben Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse an:
   Ereignis A: Auf genau einem der gezogenen Steine steht der Buchstabe A.
   Ereignis B: Auf mindestens zwei der gezogenen Steine steht ein Konsonant.
   Ereignis C: Auf höchstens zwei der gezogenen Steine steht der Buchstabe R.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Nun zieht Felix einen Spielstein, schaut sich den aufgedruckten Buchstaben an und legt ihn wieder in das Säckchen. Diesen Vorgang wiederholt er beliebig oft.
   Ermitteln Sie, wie viele Steine Felix mindestens ziehen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95% mindestens einen Stein mit dem Buchstaben A zu erhalten.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

4. Bei einer weiteren Spielvariante gibt Felix noch zusätzlich 4 Spielsteine mit dem aufgedruckten Buchstaben E in das Säckchen.
   Er zieht einen Stein, notiert sich den Buchstaben und legt den Stein danach wieder in das Säckchen zurück. Dies führt er insgesamt fünfmal durch.
   Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
   Ereignis D: Es wurde höchstens zweimal der Buchstabe L notiert.
   Ereignis E: Aus den notierten Buchstaben kann man das Wort "TALER" bilden.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Gegeben ist die Funktion f durch (x ∈ D_f).

1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion f an.
   

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Die beiden Teile des Graphen der Funktion f können durch Drehung ineinander überführt werden.
   Beschreiben Sie eine Möglichkeit, die Koordinaten des Drehzentrums Z zu ermitteln.
   Geben Sie die Koordinaten des Punktes Z an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Eine Parallele zur x-Achse schneidet den Graphen der Funktion f in den Punkten A und B mit .
   Eine weitere Parallele zur x-Achse schneidet den Graphen der Funktion f in den Punkten C und D.
   A, B, C und D sind die Eckpunkte eines Parallelogramms.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Parallelogramms.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1 | -3), B(6 | -3), C(5 | 1) und D(2 | 1) gegeben.

1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Punkte A, B, C und D Eckpunkte eines gleichschenkligen Trapezes sind.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

2. Außer dem Punkt D gibt es genau einen weiteren Punkt P, für den das Viereck ABCP ein gleichschenkliges Trapez, aber kein Parallelogramm ist.
   Geben Sie Bedingungen an, die gemeinsam die Lage des Punktes P eindeutig festlegen.
   Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Dem Trapez ABCD sei ein Quadrat so einbeschrieben, dass zwei Eckpunkte des Quadrats auf der Seite AB des Trapezes und die anderen Eckpunkte des Quadrats auf den Schenkeln des Trapezes liegen.
   Ermitteln Sie die Seitenlänge des Quadrats.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

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