PäPIKK    Mathe    Abitur  Leistungskurs 2002

19. Mar 2010  ©  Frank Müller

Aufgabenstellungen - Nachtermin

Für jedes a (a ∈ R, a > 0) ist eine Funktion f_a durch und ihre zweite Ableitung durch gegeben.

1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion an und bestimmen Sie die Nullstellen dieser Funktion.
   Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f_a achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
   Ermitteln Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f_a und untersuchen Sie die Art der Extrema.

   Erreichbare BE-Anzahl: 13

2. Begründen Sie, dass es genau eine Funktion f_a gibt, die den Wertebereich {y| y ∈ R, y ≤ 1} besitzt und geben Sie den Wert a für diesen Fall an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Der Graph jeder Funktion f_a besitzt genau zwei Wendepunkte. Alle Wendepunkte der Graphen der Funktionen f_a liegen auf dem Graphen einer Funktion g.
   Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion g.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

4. Weisen Sie nach, dass die Funktion F₁ mit der Gleichung eine Stammfunktion der Funktion f₁ ist.
   Der Graph der Funktion f₁ die x-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen x = z (z ∈ R, 0 < z < 1) und x = 1 begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A(z) vollständig.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt A(z).
   Geben Sie den Flächeninhalt für an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

5. Der Graph der Funktion f₁ rotiert im Intervall 0,5 ≤ x ≤ √e um die x-Achse. Ermitteln Sie das Volumen des betreffenden Rotationskörpers. Erreichbare BE-Anzahl: 2

6. Für jedes u (u ∈ R, u > 0) existiert im Punkt R(u|f₁(u)) eine Tangente t_u an den Graphen der Funktion f₁.
   Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tangente.
   Bestimmen Sie die Werte u, für die die Tangente t_u den positiven Teil der x-Achse und den negativen Teil der y-Achse schneidet.

In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O sind die Punkte A(3 | -1 | -5), B(1 | 5 | -2) und C(-2| 2 | 1) sowie für jedes a eine Gerade g_a durch (t ∈ R) gegeben.

1. Begründen Sie ohne Rechnung, dass es keinen Punkt gibt, der auf allen Geraden g_a liegt.
   Untersuchen Sie, ob es einen Wert a gibt, für den der Punkt B auf der Geraden g_a liegt.
   Zeigen Sie, dass jede der Geraden g_a windschief zur x-Achse ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

2. Alle Geraden g_a liegen in ein und derselben Ebene E.
   Die Strecke wird durch senkrechte Parallelprojektion in die Ebene E abgebildet. Berechnen Sie die Länge der Projektionsstrecke.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

3. Die Punkte A, B und C sind Eckpunkte eines Dreiecks. Durch die Gerade g₅ wird dieses Dreieck in zwei Teilflächen zerlegt.
   Weisen Sie rechnerisch nach, dass eine der Teilflächen ein Trapez ist.
   Ermitteln Sie das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Teilflächen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 8

4. Die Gerade h geht durch die Punkte A und C.
   Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen den Geraden g_a und h.
   Es gibt genau eine Gerade g_a, die von der Geraden h minimalen Abstand besitzt.
   Beschreiben Sie, wie eine Gleichung dieser Geraden ermittelt werden kann.

Ein Spezialbetrieb für Stoßdämpferreparaturen an PKW hat ermittelt, dass die Defekte an Stoßdämpfern eines Typs in genau drei einander ausschließende Fehlerkategorien (F1, F2, F3) eingeteilt werden können. F1 tritt in 70% und F2 in 15% der Schadensfälle auf. Ein Stoßdämpfer, der den Fehler F1 aufweist, verursacht in 90% dieser Fälle ein Klopfgeräusch beim Durchfahren von Fahrbahnunebenheiten. Bei Fehler F2 beträgt die entsprechende Wahrscheinlichkeit 50%, während Fehler F3 keine Klopfgeräusche verursacht.

Die Kosten für die Behebung der einzelnen Fehlerarten betragen in diesem Betrieb pro Stoßdämpfer: 400€ bei F1, 200€ bei F2 und 100€ bei F3.

Ein Fahrzeug mit Klopfgeräuschen an einem Stoßdämpfer wird in die Werkstatt gebracht.

1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die kostenintensivste Fehlerart F1 vorliegt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

2. Berechnen Sie den Erwartungswert der Reparaturkosten.

Im Betrieb werden pro Woche durchschnittlich 25 defekte Stoßdämpfer an Autos dieses Typs repariert. In den Fällen, in denen Fehler F1 auftritt, wird ein bestimmtes Ersatzteil benötigt. Die Anlieferung der Ersatzteile erfolgt wöchentlich und der verfügbare Lagerraum ist klein.

3. Berechnen Sie, wie viele solcher Ersatzteile wenigstens eingelagert werden müssen, damit in einer Woche bei durchschnittlichem Bedarf die Fahrzeuge mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit ohne Nachbestellung von Stoßdämpfern sofort repariert werden können.

Der Hersteller produziert die Stoßdämpfer parallel und zu gleichen Anteilen auf 6 Maschinen. Die jeweilige Tagesproduktion wird in einer Halle gelagert.

4. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass vier zufällig dieser Halle entnommenen Stoßdämpfer von vier unterschiedlichen Maschinen stammen.

Ein Test von Stoßdämpfern dieser Firma ergab, dass diese eine durchschnittliche Lauf Leistung von 50000 km erbringen. Weiter zeigte sich, dass die Lauf Leistung normalverteilt ist und eine Standardabweichung von 10000 km aufweist.

5. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Stoßdämpfer dieser Marke weniger als 90% der durchschnittlichen Laufleistung bringt.

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Für jedes p (p ∈ R, p > 0) ist eine Funktion f_p durch gegeben. Die Abbildung zeigt die Graphen einiger der Funktionen f_p in einem x-y-Koordinatensystem.

1. Ermitteln Sie alle Werte p (p ∈ N), für die die Graphen der zugehörigen Funktion f_p dargestellt sind.
   Untersuchen Sie die Graphen der Funktionen f_p auf Symmetrie.

Es gibt Funktionen f_p , deren jeweiliger Graph mit der x-Achse im I. und II. Quadranten eine Fläche A_p vollständig begrenzt.

2. Ermitteln Sie alle Werte p, für die eine solche Fläche existiert.
   Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche A₃.
   Begründen Sie, dass die Fläche A₃ die größte aller Flächen A_p ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

3. Untersuchen Sie, ob es eine Funktion gibt, auf deren Graph alle lokalen Minimumpunkte der Funktionen f_p liegen und geben Sie gegebenenfalls eine Gleichung dieser Funktion an.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0 | 5 | 1), B(0 | -2 | 8) sowie C_a(2a | -3 | -3) (a ∈ R, a > 0) gegeben.

Für jedes a wird durch die Punkte A, B und C_a eine Ebene E_a bestimmt. Die Ebene und die drei Koordinatenebenen begrenzen eine Pyramide P_a mit dreiseitiger Grundfläche.

1. Zeigen Sie, dass für jedes a (a ∈ R, a > 0) die Ebene E_a die x-Achse in genau einem Punkt X_a(a | 0 | 0) schneidet.
   Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide P_a.

Jeder Pyramide P_a sind Quader so einbeschrieben, dass der Koordinatenursprung Eckpunkt des Quaders ist und der einzige nicht in den Koordinatenebenen liegende Eckpunkt zur Ebene E_a gehört.

2. Einige der Quader besitzen in der x-y-Koordinatenebene liegende quadratische Grundflächen mit der Seitenkante 2.
   Berechnen Sie den Wert a, für den das Volumen dieses Quaders 7 beträgt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Einige der Quader sind Würfel.
   Berechnen Sie den Wert a, für den das Volumen des Würfels 125/8 beträgt.
   Ermitteln Sie die obere Grenze aller derartigen Würfelvolumina.

Copyright © F. Müller eine private Seite auf dem Sächsischen Bildungsserver zuletzt geändert am 25 Mar 2007 14:51:08

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