PäPIKK    Mathe    Abitur  Grundkurs 2002

09. Feb 2012  ©  Frank Müller

Aufgabenstellungen

Gegeben sind die Funktionen f und F durch die Gleichungen y = f(x) =(x ∈ D_f) und y=F(x)= (x∈R).

1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich und die Nullstelle der Funktion f an.
   Untersuchen Sie die Funktion f auf Symmetrie.
   Untersuchen Sie die Funktion f auf achsenparallele Asymptoten und geben Sie gegebenenfalls deren Gleichungen an.
   Der Graph der Funktion f besitzt genau zwei lokale Extrempunkte P_MIN und P_MAX.
   Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 9

2. Weisen Sie nach, dass die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f ist.
   Begründen Sie, dass die Funktion F höchstens eine lokale Extremstelle hat.
   
   Für jedes a (a ∈ R, a > 0) begrenzen der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = a eine Fläche vollständig.
   Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a. Ermitteln Sie den Wert a, für den der Flächeninhalt 2,5 beträgt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

3. Für jedes u (u ∈ R, 0 < u < 10) sind der Koordinatenursprung und der Punkt P_u(u | f(u)) Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Es existiert genau ein Wert u, für den der Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks maximal wird.
   Ermitteln Sie diesen Wert u und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

4. Der Graph einer ganzrationalen Funktion g dritten Grades verläuft durch die lokalen Extrempunkte P_MIN und P_MAX des Graphen der Funktion f.
   Außerdem hat die Funktion g an der Stelle x = - 1/3 einen Wendepunkt.
   In diesem Wendepunkt besitzt die Tangente an den Graphen der Funktion g den Anstieg -1/12.
   Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion g.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

Abbildung 1 (Skizze nicht maßstäblich)

1. Geben Sie die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Prismas an.
   Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Drachenviereck ist.
   Ermitteln Sie die Größe des Winkels ∠BAD.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

2. Durch die Punkte A, C und E ist eine Ebene Ε und durch die Punkte B und H eine Gerade h bestimmt.
   Geben Sie jeweils eine Gleichung der Ebene t und der Geraden h an.
   Untersuchen Sie, ob der Punkt Q(13/2 | 7 | 5/2 ) Schnittpunkt der Ebene Ε und der Geraden h ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Vom geraden Prisma ABCDEFGH wird die Pyramide mit der Grundfläche EFG und der Spitze B abgetrennt.
   Begründen Sie, dass das Volumen des Restkörpers 5/6 des Volumens des Prismas beträgt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

   Die folgende Teilaufgabe bezieht sich nur auf die x-y-Ebene.

4. In der x-y-Ebene liegt ein Kreis k, dessen Radius r = beträgt und dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks ABCD ist.
   Die Gerade t sei Tangente an den Kreis k im Punkt R ( 11/2 | 14).
   Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

Ein Glücksrad G₁ ist in 36 gleich große Sektoren eingeteilt, die paarweise verschieden mit den natürlichen Zahlen von 1 bis 36 beschriftet sind. Bei jeder Drehung des Rades wird genau ein Sektor mithilfe eines Zeigers "gezogen".

1. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür an, dass bei einer Drehung des Rades G₁ eine durch drei teilbare Zahl „gezogen“ wird.

   Erreichbare BE-Anzahl: 1

2. Das Glücksrad G₁ wird 10-mal gedreht.
   Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass dabei genau zweimal eine durch 5 teilbare Zahl „gezogen“ wird.
   Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei mindestens zweimal, aber höchstens fünfmal eine durch 5 teilbare Zahl „gezogen“ wird.
   Ermitteln Sie, wie oft man das Glücksrad G, mindestens drehen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% wenigstens einmal eine durch 5 teilbare Zahl „gezogen“ wird?

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

3. 
   Abbildung 2: (Skizze nicht maßstäblich)

   Das Glücksrad G₂ sei in vier Sektoren A, B, C und D eingeteilt (Abbildung 2).
   Zentriwinkel des Sektors B: 36° des Sektors C: 120° des Sektors D: 24°
   Bei jeder Drehung des Rades wird mithilfe eines Zeigers genau ein Sektor ermittelt.
   Der Spieler zahlt einen Einsatz von 1 € und erhält beim "Ziehen" des Sektors D 5 €, des Sektors B 2 € und des Sektors C 1 € ausgezahlt. Bei der Ziehung des Sektors A erhält er nichts.
   Ermitteln Sie, welchen Gewinn (erhaltenes Geld abzüglich des Einsatzes) ein Spieler im Schnitt erwarten kann.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Das Glücksrad G₃ sei in vier Sektoren eingeteilt.
   Geben Sie die Größen der Zentriwinkel dieser Sektoren so an, dass sich die Wahrscheinlichkeiten, mit denen sie "gezogen" werden, wie 1 : 2 : 4 : 8 verhalten.

   Erreichbare BE-Anzahl: 1

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Gegeben ist eine Funktion f durch
y=f(x)= (x ∈ R, -2 ≤ x ≤ 0).

1. Der Graph einer quadratischen Funktion g, der achsensymmtrisch zur y-Achse ist, verläuft durch den Punkt P( 0; -40 ). Außerdem ist die Nullstelle der Funktion f auch Nullstelle der Funktion g.
   Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion g und geben Sie alle Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

2. Der Graph der Funktion t ist Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt Q(1 | f(1)). Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tangente t.
   Im Intervall 0,8 ≤ x ≤ 1,2 wird der Graph der Funktion f näherungsweise durch diese Tangente t beschrieben.
   Ermitteln Sie die maximale Abweichung der Funktionswerte der Funktionen f und t in diesem Intervall.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Für jedes a (a ∈ R, a > 0) ist eine Funktion h_a durch y = h_a(x) = ax² - 20 (x ∈ R) gegeben.
   Es existiert ein Wert a, so dass die Funktionen f und h_a an der Stelle x = 1 die maximale Differenz ihrer Funktionswerte f (x) - h_a(x) haben.
   Berechnen Sie diesen Wert a und geben Sie die maximale Differenz an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt M( 3; -1; 0 ) und für jedes a (a ∈ R) eine Gerade g_a durch die Gleichung (r ∈ R) gegeben.

1. Begründen Sie, dass alle Geraden g, zueinander parallel verlaufen.
   Es gibt einen Wert a, für den der Punkt M Schnittpunkt der Geraden g, mit der x-y-Koordinatenebene ist. Ermitteln Sie diesen Wert a.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

   M ist der Schnittpunkt der Diagonalen eines in der x-y-Koordinatenebene liegenden regelmäßigen Sechsecks ABCDEF mit dem Eckpunkt A(3+√3 | -2 | 0).

2. Zeigen Sie, dass ein zum Punkt A benachbarter Eckpunkt des Sechsecks die Koordinaten (3+√3 | 0 | 0) besitzt.
   Berechnen Sie die Koordinaten des anderen benachbarten Eckpunktes des Punktes A.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Das Sechseck ABCDEF ist Grundfläche von schiefen Pyramiden mit dem Volumen 18√3, deren Spitzen auf der Geraden g_-3 liegen.
   Ermitteln Sie die Koordinaten aller Punkte, die Spitzen einer solchen Pyramide sind.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

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