Mathematik Abitur - Leistungskurs 2001

PäPIKK

Mathe

Abitur

Leistungskurs Nachtermin 2001

09. Feb 2012 © Frank Müller

Teil A: Analysis

Lösungen und Bewertung

Aufgabenstellung --- Lösungen: Teil A, B, C, D1 und 2, Zusatzaufgabe Teil A --- home

	Erläuterugen	BE
a	erste Nullstelle zweite Nullstelle: x_N1 = 2; x_N2 = 4 Polstelle: x_P = 0 Verhalten für x → ∞: Verhalten für x → -∞: Ansatz für Wert k: ⇒ 6=3k Wert k: k = 2	7
b	Nachweis: f_k(k) = k²+3k²-4k² = 0 Polynomdivision: mit x_N1 = k `(x³ + 3kx² - 4k³):(x-k)=x²+4kx+4k² x³ - kx² 4kx² - 4k³ 4kx² - 4k²x - 4k²x - 4k³ - 4k²x - 4k³ 0` und Lösung der quadratischen Gleichung: x²+4kx+4k² = (x+2k)² bzw. zweite Nullstelle: x_N2 = 2k 1. Ableitung: Prüfung der notwendigen Bedingung: f_k⇒(-2k) =? 0 (wahre Aussage) 2. Ableitung: 2. Ableitung an der Stelle x = 2k: f_k´´(-2k) = 3 > 0 ⇒ lokales Minimum bei E_Min (-2k \| 0) Begründung: Version I: Achsensymmetrie liegt vor, wenn gilt: f_k (x) = f_k (-x), was zu einem Widerspruch führt. Zum Beispiel ist 6kx² = 8k³ für k>0 und x ∈ R; x ≠ 0² nicht lösbar. Version II: angenommen, es gibt ein solches k, dann müsste auch E₁ (2k \| 0) ein Minimum sein. Da aber f_k⇒(2k) = 8k ≠ 0 für k > 0 gilt und folglich dort keine Extremstelle sein kann, ist die Annahme falsch. Die Funktion f_k(x) ist keinesfalls achsensymmetrisch.	7
c	Abbildung 8 Anstieg der Tangente: m_t = f´_k (k) = 9k Anstieg der Normalen: m_n = -1/m_t; n = 0 + k/(9k) = 1/9 und n(x): y = -1/(9k) x + 1/9 Ordinate des Punktes R: R(0 \| 1/9) Schlussfolgerung: R hängt nicht von k ab. Ansatz für Flächeninhalt: Variante I: Bestimmung des Absolutgliedes der Tangentengleichung t_k(x): y = 9kx – 9k² Variante II: Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck ausnutzen (siehe Abbildung ): mit A = ½ gh; g = p + q und h² = pq ergibt sich und mit p = 1/9 bzw. h = k Flächeninhalt A: A = 9/2 k³ + k/18	6
d	Ansatz für Flächeninhalt: Stammfunktion: Umformungen: Flächeninhalt in Abhängigkeit von k: _{Ansatz zur Bestimmung von k: _{Wert k: k = ½}}	6
e	Ansatz für Wert k:f_k´(4) = f_k´(-2) 1. Ableitung an der Stelle x = 4: f_k´(4) = ¼ k³ + 3k + 8 1. Ableitung an der Stelle x = 2: f_k´(-2) = k³ + 3k - 4 Wert k: k = ≈ 2,52	4
f	Ansatz für Zielfunktion: d²(x) = x² + f₂²(x) Zielfunktion: d²(x) = x² + g²(x) weiter mit GTR: Y1=g(x); solve(nDeriv(X²+Y1²,X,X),X,1) → 1.9939 und Ö(Ans²+Y2(Ans)²) → 1.9969 globale Minimumstelle: x_MIN ≈ 2,0 minimaler Abstand d: d ? 2,0	4
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2 Die Argumente x können jeden beliebigen Wert aus dem Definitionsbereich annehmen.

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