Mathematik Abitur - Leistungskurs 2001

PäPIKK

Mathe

Abitur

Leistungskurs Nachtermin 2001

24. May 2012 © Frank Müller

Teil A: Analysis

Lösungen und Bewertung

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Erläuterugen

Abbildung 1: f₂(x)

Abbildung 2: Zeigt den Zusammenhang zwischen f₂(x) und den Funktionen der einzelnen Summanden des Funktionsterms.

Abbildung 3: f_-2(x)

größtmöglicher Definitionsbereich D_fk = R\{0}
Verhalten für x → ∞:
Verhalten für x → -∞:
Nullstelle der Funktion f₂: x_N ≈ 1,13
Aussage zu Nullstellen der Funktion f₂
Wie aus dem Verhalten im Unendlichen und der Abbildung 3 geschlossen werden kann, gibt es keine Nullstellen.
Aussage zu lokalen Extrema der Funktion f₂
Aus kann man ablesen, dass für x<0 und 0<x die Funktion jeweils streng monoton fallend ist.
Koordinaten und Art des lokalen Extrempunktes der Funktion f_-2: P_MIN ( -1,41; 3,44)
GTR: Y1=e^(-.5X)+K/X; -1àK; solve(nDeriv(Y1,X,A),A,-1) → -1,4069 und Y1(Ans → 3,4423

Abbildung 4: Darstellung der Funktion f_-1(x) im Zusammenhang mit der zu lösenden Gleichung .

1. Ableitung:
Ansatz: ⇒
Aussage für k > 0: es gibt keine lokalen Extrema
Aussage für k = 0: (x_E = 0) nicht im Definitionsbereich enthalten
Aussage für k < 0: (siehe Abbildung)

Offensichtlich sind bis zu 3 lokale Extremstellen auffindbar. Im Bild ist das anhand der entstehenden Schnittpunkte zu erkennen, denn diese Stellen sind gerade die Lösungen der angegebenen Gleichung. Da die e-Funktion ab einer Stelle immer schneller wächst als x², kann es also 1, 2 oder 3 Extrema geben.

Ansatz: f_k1(x)=f_k2(x) führt für alle k₁ ≠ k₂ (k₁, k₂ ∈ R) zu einem Widerspruch.
Interpretation: ist nur dann wahr, wenn x ≠ 0 bzw. k₁ = k₂ gilt.
Schlussfolgerung Folglich haben je zwei verschiedene Funktionen keine gemeinsamen Punkte.

Abbildung 5: f_-2(x) mit Tangente t und y_h = e + 1

Anstieg:

;

Ansatz für Gleichung der Tangente: y = mx + n mit

Gleichung der Tangente: y = (½ ½ e) x + 2
Radius des Kreiskegels: r = -2
Ansatz für Höhe des Kreiskegels: h = y_h - 2
Höhe: h = e - 1
Ansatz für Volumen: V = 1/3 A_G h = ρ/3 (-2)² h
Volumen: V ≈ 7,2

Ansatz:
GTR: solve(abs(fnInt(Y1,X,1,A))-1,3,A,2) → 2,7168 (ist ein universaler Ansatz und geht am schnellsten) oder
Vorzeichen des bestimmten Integrals:
Umformungen
Wert a: a ≈ 2,7

Abbildung 6

Abbildung 7: Graphen der Funktionen wie oben

Ansatz: d(x) = f_-2(x) – x^-1
Zielfunktion: d⇒(x) – besser mit GTR: solve(nDeriv(Y1-X^-1,X,A),A,-2) → -1,6298
Extremstelle u: u ≈ -1,6
Art des Extremums: entweder lokales Minimum oder lokales Maximum
z. B. GTR: nDeriv(nDeriv(Y1-X^-1,X,X),X,Ans) → 1,95 ⇒ kleinster Abstand
Extremwert der Differenz d: entweder d ≈ -4,1 oder d ≈ 4,1 (Je nach dem, in welcher Reihenfolge die Differenz gebildet wurde.)
Skizze -
Kennzeichnung von u
Kennzeichnung von d

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