PäPIKK    Mathe    Abitur  Leistungskurs Nachtermin 2001

24. May 2012  ©  Frank Müller

LK Nachtermin: Aufgaben --- Material Stochastik

1. Gegeben sind Funktionen f_k durch y = f_k(x) = e^-½x + k/x (k ∈ R; x ∈ D_fk).
   Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionen f_k an.
   Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionen f_k im Unendlichen.
   
   Geben Sie für die Funktionen f_-2 und f₂ jeweils Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der Extrema an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

2. Untersuchen Sie die Funktionen f_k auf die Existenz von lokalen Extrempunkten in Abhängigkeit von k.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

3. Zeigen Sie, dass sich die Graphen zweier beliebiger Funktionen der Funktionen­schar f_k nicht schneiden.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

   In den folgenden Aufgabenteilen wird die Funktion f_-2 betrachtet.

4. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t im Punkt P(-2; f_-2(-2)) an den Graphen der Funktion f_-2.
   Die Tangente t, die Gerade y = e +1 und die y-Achse begrenzen ein Dreieck vollständig. Dieses Dreieck erzeugt bei Rotation um die y-Achse einen Kreiskegel.
   Bestimmen Sie das Volumen dieses Kreiskegels.

   Erreichbare BE-Anzahl: 8

5. Der Graph der Funktion f_-2 , die x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen x = 1 und x = a (a ∈ R, a > 1) begrenzen für jedes a eine Fläche vollständig.
   Bestimmen Sie den Wert a, für den die zugehörige Fläche den Inhalt 1,3 hat.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

6. Gegeben ist die Funktion g durch y = g(x) = x^-1 (x ∈ R, x ≠ 0).
   Es existiert genau ein u (u ∈ R, u < 0), für das die Differenz der Funktionswerte der Funktionen f_-2und g extrem wird.
   Bestimmen Sie diesen Wert u und geben Sie die Art und den Wert des Extremums an.
   Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f_-2 und g im II. Quadranten und kennzeichnen Sie in der Skizze Ihre Ergebnisse.

   Erreichbare BE-Anzahl: 8

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-4; 4; 2), B(l; -1; 0), C(5; 1; 2) und G(l; 7; 14) sowie die Ebenen E_a mit ax - 14y + 8z = 6a - 1 (a ∈ R) gegeben.

1. Durch die Punkte A und C verläuft die Gerade g. Der Punkt D ist Bildpunkt des Punktes B bei Spiegelung an der Geraden g.
   Beschreiben Sie ein rechnerisches Verfahren zur Ermittlung der Koordinaten des Punktes D.
   Geben Sie die Koordinaten des Punktes D an.
   Geben Sie die Art des Vierecks ABCD an und berechnen Sie den Flächeninhalt die­ses Vierecks.

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

2. Die Gerade h verläuft durch die Punkte C und G.
   Ermitteln Sie den Wert a, für den die Gerade h in der zugehörigen Ebene E_a liegt. Untersuchen Sie, ob ein Wert a existiert, so dass die Gerade h senkrecht zur Ebene E_a steht.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

   Betrachtet wird nun das schiefe Prisma ABCDEFGH mit der Grundfläche ABCD, bei dem die Strecke eine Seitenkante ist.

3. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels der Geraden durch die Punkte C und G mit der Grundflächenebene des Prismas.
   Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene, in der die Deckfläche EFGH des Prismas liegt.
   Berechnen Sie das Volumen des Prismas.

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

4. Durch den Diagonalenschnittpunkt S(2; 2; 2) der Fläche ABCD verlaufen Geraden.
   Ermitteln Sie eine Gleichung derjenigen dieser Geraden, bei der die im Inneren des Prismas liegende Strecke maximale Länge besitzt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

5. Auf der Seitenkante existiert ein Punkt P, der von der Grundfläche den Abstand von besitzt.
   Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Punktes.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

Eine sächsische Firma stellt Drahtzaun her¹. Dieser wird in Form von Rollen ausgelie­fert. Es ist bekannt, dass 4% aller Rollen Ausschuss sind. Die Ausschussrollen treten unabhängig voneinander auf.

1. Der laufenden Produktion werden 20 Rollen Drahtzaun entnommen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der dabei auftretenden Ausschussrollen.
   Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
   Ereignis A: Keine der entnommenen Rollen ist Ausschuss.
   Ereignis B: Mindestens 2, aber höchstens 4 Rollen sind Ausschuss.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

2. Entscheiden Sie, weiche der Aussagen (1) bis (3) falsch sind, und begründen Sie für diese Fälle Ihre Entscheidung.
   • (1) In jeder Lieferung von 200 Rollen sind acht Rollen Ausschuss.
   • (2) Im Durchschnitt sind in einer Lieferung von 200 Rollen mindestens acht Aus­schussrollen zu erwarten.
   • (3) Im Durchschnitt sind in einer Lieferung von 200 Rollen acht Ausschussrollen zu erwarten.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Eine Rolle ist Ausschuss, wenn sie mindestens einen der beiden Fehler F₁: "Fehler in Qualität des Drahtes" oder F₂: "Fehler im Drahtgeflecht" hat. Andere Fehlerarten kommen nicht vor. Beide Fehler treten unabhängig voneinander auf. Die Wahrscheinlichkeit für Fehler F₁ beträgt 0,025.
   Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Fehler F₂ auftritt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

4. Der Verkauf des Drahtes erfolgt zu gleichen Anteilen über die Vertriebszentren Dresden, Leipzig und Auerbach. 20% der Lieferungen des Vertriebszentrums Dres­den, 25% der Lieferungen des Vertriebszentrums Leipzig und 10% der Lieferungen des Vertriebszentrums Auerbach sind unpünktlich. Im Rahmen einer Schulung für Verkäufer will die Firmenleitung die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer un­pünktlichen Auslieferung mithilfe einer geeigneten Simulation (z.B. mit einem GTR oder mit einem Urnenmodell) plausibel machen. Beschreiben Sie, wie eine solche Simulation durchgeführt werden kann.
   Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine zufällig ermittelte Auslieferung unpünktlich ist.
   Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine unpünktliche Auslieferung aus dem Vertriebszentrum Auerbach stammt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

5. Bei einer für die Herstellung von Drahtzaun benötigten Drahtsorte wird die Drahtstär­ke durch die Zufallsgröße Z beschrieben. Diese ist normalverteilt mit einem Erwar­tungswert von 6 mm und einer Standardabweichung von 0,5 mm. Berechnen Sie die kleinste Zahl c auf 0,1 mm genau, für die gilt: P(Z > c) ≤ 0,025.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Die Abbildung zeigt den halben Querschnitt eines Gefäßes, das die Gestalt eines Rotationskörpers besitzt.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Die innere seitliche Begrenzungsfläche wird durch die Rotation des Graphen der Funktion f_a mit (a ∈ R, a > 4; x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 4a) um die x Achse gebildet.
Die äußere seitliche Begrenzungsfläche wird durch die Rotation des Graphen der Funk­tion g_a mit g_a(x) = f_a(x) + l (a ∈ R, a > 4; x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 4a) um die x Achse bestimmt. Eine Längeneinheit entspricht jeweils einem Zentimeter.

Der angesetzte Boden des Gefäßes ist eine zylinderförmige Scheibe mit der Höhe 1,0 cm und dem Radius r_a = g_a (0) (siehe Abbildung).

1. Berechnen Sie das Volumen des Gefäßbodens.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Geben Sie für a = 10 den maximalen Außendurchmesser des Gefäßes und den Durchmesser der Öffnung an.
   Ermitteln Sie den Wert a, für den der Durchmesser der Öffnung 26,0 cm ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Die Dichte des Materials beträgt ρ = 2,5 .
   Ermitteln Sie die Masse des Gefäßes für a = 10.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

4. Berechnen Sie den Wert a, für den das Fassungsvermögen des Gefäßes 100 Liter beträgt. Gehen Sie davon aus, dass das Gefäß bis zum Rand gefüllt werden kann.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

Zur Beschreibung der Position von Flugzeugen im Luftraum werde ein kartesisches Koordinatensystem benutzt. Die als eben angenommene Erdoberfläche liege in der x-y-Ebene.
Die Flugbahn des Flugzeuges F₁ verläuft geradlinig durch die Punkte P(0; 15; 8) und

Q (2; 13; 8). Für jedes k (k ∈ N, 0 < k ≤ 20) verläuft eine mögliche geradlinige Flugbahn des Flugzeuges F₂ durch die Punkte S_k (15; -2,5; k/2) und T_k (30; -10; k).

1. Zeigen Sie, dass für k = 12 die beiden Flugzeuge auf den Bahnen kollidieren kön­nen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Das Flugzeug F₂ befindet sich auf einer der möglichen Flugbahnen im Punkt S_k.
   Untersuchen Sie, ob das Flugzeug F₂ in jedem Fall von der im Punkt O (0; 0; 0) befindlichen Bodenstation gesehen werden kann, wenn die Sichtweite 18 Längenein­heiten beträgt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

3. Von einem "Beinahezusammenstoß" spricht man, wenn der Abstand zweier Flug­zeuge weniger als eine Längeneinheit beträgt. Für welche Werte von k kann es auf den Bahnen der Flugzeuge F₁ und F₂ zu einem "Beinahezusammenstoß" kommen?

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

4. Die geradlinig verlaufende Grenze zum Nachbarland geht durch die Punkte G(0; -33;0) und H(100; -83; 0). Die Grenze des Luftraumes ist eine zur Erdoberfläche (x-y-Ebene) senkrechte Ebene, die die Landesgrenze enthält. Aus Sicherheitsgründen muss sich ein Flugzeug bei Annäherung an das Nachbar­land spätestens bei dessen Bodenstation anmelden, wenn der Abstand zur Luft­raumgrenze 10 Längeneinheiten beträgt.
   Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem sich Flugzeug F₁ welches sich im Punkt P befindet und sich der Luftraumgrenze des Nachbarlandes nähert, spätes­tens bei der Bodenstation des Nachbarlandes anmelden muss.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

Gegeben sind eine Funktion g durch y = g(x) = (x ∈ D_g) sowie Funktionen f_k durch y = f_k (X) = (k ∈ R, k > 0; x ∈ R, x ≠ 0).

1. Geben Sie für die Funktion g die Nullstellen und die Polstelle an.
   Geben Sie das Verhalten der Funktion g im Unendlichen an.
   Berechnen Sie den Wert k, für den g(x) = f_k (x) gilt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

2. Zeigen Sie, dass für jedes k die Funktion f_k an der Stelle x = k eine Nullstelle be­sitzt, und berechnen Sie alle weiteren Nullstellen dieser Funktion f_k. Weisen Sie nach, dass für jedes k die Funktion f_k an der Stelle x = -2k eine lokale Extremstelle besitzt.
   Begründen Sie, dass es kein k gibt, für das der Graph der Funktion f_k achsensym­metrisch zur y-Achse ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 8

3. Für jedes k ist die Gerade t_k Tangente und die Gerade n_k Normale an den Graphen der Funktion f_k im Punkt P_k(k; 0). Jede Gerade n_k schneidet die y-Achse im Punkt R. Zeigen Sie, dass die Koordinaten des Punktes R von k unabhängig sind.
   Für jedes k begrenzen die Geraden t_k und n_k und die y-Achse ein Dreieck.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

4. Für jedes k begrenzen der Graph der Funktion f_k, die x Achse und die Gerade mit der Gleichung x = -k eine Fläche vollständig.
   Berechnen Sie den Wert k, für den der Inhalt dieser Fläche beträgt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

5. Berechnen Sie den Wert k, für den die Tangenten an den Graphen der Funktion f_k an den Stellen x₁ = 4 und x₂ = -2 zueinander parallel sind.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

6. Ermitteln Sie für die Funktion f₂ die Abszisse desjenigen Punktes des Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten liegt.
   Geben Sie diesen minimalen Abstand an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

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Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Copyright © F. Müller eine private Seite auf dem Sächsischen Bildungsserver zuletzt geändert am 25 Mar 2007 14:46:02

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