Teil A: Analysis

Lösungen und Bewertung

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Erläuterungen BE
a Nullstelle: xN = 4
Koordinaten des Schnittpunktes Py mit der y-Achse: Py (0; 2)
1. Ableitung
f'`(x)`=`e^x·(3 - x) over 2
2. und 3. Ableitung f'`(x)`=`e^x·(2 - x) over 2, f'`(x)`=`e^x·(1 - x) over 2
Extremstelle: da ex ≠ 0 folgt xe = 3
Koordinaten des lokalen Extrempunktes und Art des Extremums: PMAX(3; 0,5e3) bzw. PMAX(3,0; 10,0)
Nachweis für genau einen Wendepunkt: da ex ≠ 0 folgt mit xW = 2 gibt es höchstens einen und aus f'''(xW) = -0,5 e2 ≠ 0 folgt es gibt genau einen Wendepunkt
Koordinaten des Wendepunktes: PW(2; e2) bzw. PW(2,0; 7,4)
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b Ansatz für Nachweis: F' (x) = f (x)
Nachweis: F' (x) = ex (2 − 0,5x) = f (x)
Ansatz für Gleichung der speziellen Stammfunktion: F(0) + C = f (0) Þ C = f(0) - F(0) = 2 - e0 (2,5 - 0) = -0,5
Gleichung der speziellen Stammfunktion: F* (x) = ex (2,5 - 0,5x) - 0,5
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c Ansatz für Gleichung der Tangente: R(0 | 2) Þ n = 2 und m = f'(0)
Gleichung der Tangente: y = 1,5x+ 2
Integrationsgrenzen: GTR Y1=f(x) und solve(Y1-1.5x-2,X,4) → 3,5635
Ansatz für Flächeninhalt: int from{0} to{3,5635} {f(x) - 1,5x -2} dx und GTR fnInt(Y1-1.5x-2,X,0,3.5635) → 6,199
Flächeninhalt A: A = 6,2
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d Zielfunktion oder Lösungsidee: Das bezeichnete Dreieck hat Strecke zur Grundseite und f(u) zur Höhe auf dieser Grundseite. Der Flächeninhalt A(u) hängt damit nur von der Höhe ab. Wird die Höhe maximal, so wird auch der Flächeninhalt maximal.
Extremstelle
Damit ist die gesuchte Stelle u = xe, der Gesuchte Punkt Cu (u | f(u)) = PMAX und der Flächeninhalt A(3) = 5 f(xe) / 2 = 5/4 e3.
Koordinaten des Punktes Cu: Cu (3; 0,5e3 ) bzw. Cu (3,0; 10,0)
maximaler Flächeninhalt A: A = 1,25e3 bzw. A ≈ 25,1
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e Ansatz für Gleichung der Senkrechten zur Geraden g: Der Anstieg der Normalen ist senkrecht zur Tangente in R Þ m = -2/3 und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist R, also n = 2
Gleichung der Senkrechten: y = -2/3 x +2
Nullstelle der Senkrechten: x0 = 3
Radius r des Kreises: r = √13 = √ (22 + 32)
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