Gesamtübersicht über Bool'sche Grundfunktionen

Die Schaltfunktion 0 (a, b,..., m) spiegelt die elektrischen Eigenschaften einer gegebenen Reihenparallelschaltung in Abhängigkeit von den möglichen Schaltstellungen der Schaltelemente A, B,..., M wider. Jede der unabhängigen Variablen kann nur zwei Werte 0 oder 1 (0 bedeute, das bedienende Schaltelement ist ausgeschaltet; 1 bedeute, das bedienende Schaltelement ist eingeschaltet) annehmen, und der Wertebereich von S umfasst ebenfalls nur zwei Werte 0 und 1 (d. h. 0, falls die Schaltung für die jeweilige Schaltstellung nicht leitend ist, und 1 sonst).

Geometrische Deutung.

Der Definitionsbereich einer Schaltfunktion 0 von n Variablen entspricht den Ecken des n-dimensionalen Einheitswürfels. Bei n Schaltelementen existieren 2ⁿ verschiedene Schaltfunktionen. Jeder Schaltung ist eindeutig eine Schaltfunktion zugeordnet, aber nicht umgekehrt.

Logische Beschreibung der Schaltungen

Vorschrift für eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen der Menge der Reihenparallelschaltungen und einer Teilmenge der Menge aller logischen Ausdrücke:

1. Der immer leitenden Schaltung entspricht die logische Konstante W (true oder 1)

2. Der niemals leitenden Schaltung entspricht die logische Konstante F (false oder 0) 

3. Dem Arbeitskontakt a entspricht die Aussagenvariable a.

4. Dem Ruhekontakt a entspricht die negierte Aussagenvariable ä.

5. Der Hintereinanderschaltung zweier Reihenparallelschaltungen entspricht die Konjunktion (Hl n HZ) der den Teilschaltungen zugeordneten Ausdrücke H, und HZ.

6. Der Parallelschaltung zweier Reihenparallelschaltungen entspricht die Alternative (H, v 1 der den Teilschaltungen zugeordneten Ausdrücke H, und HZ.

Beispiele.

1. Der Reihenparallelschaltung in Abb. 10.8 entspricht der logische Au H - ((((a v b) A c) v (c n d)) n b).

2. Den Reihenparallelschaltungen in Abb. 10.9 bzw. x0.10 entspricht der Ausdruck Hr = (a v bzw. der Ausdruck HZ = (a v (d n b)).

Jeder Schaltstellung, in der sich eine gegebene Schaltung befinden kann, wird eine Belegung der Aussagenvariäblen mit Wahrheitswerten zugeordnet. Die Zuordnung wird ihr folgender Wert getroffen: Ist das Schaltelement A eingeschaltet, so werde die Aussagenvariable a mit dem logische Wert W belegt; ist es ausgeschaltet, so werde die Aussagenvariable a mit dem logischen Wert F belegt.

Sätze über die Beziehungen zwischen Schaltung und zugeordnetem Ausdruck:

1. Eine Reihenparallelschaltung ist bei einer speziellen Schaltstellung genau dann elektrisch leitend, wenn der zugeordnete Ausdruck bei der der Schaltstellung zugeordneten Belegung den Wert W besitzt.

2. Zwei Reihenparallelschaltungen sind genau dann elektrisch gleichwertig (und können durch einander ersetzt werden); wenn die beiden zugeordneten Ausdrücke äquivalent (vgl. 4.1.1.2.) sind. 
10.4.1.4. Analyse und Synthese

Unter der Analyse einer Schaltung versteht man das Problem, für eine gegebene Schaltung anzugeben, bei welchen Schaltstellungen die Schaltung elektrisch leitend bzw. nichtleitend ist. Die Analyse wird durch folgende Schritte realisiert:

1. Zur gegebenen Schaltung wird der zugeordnete logische Ausdruck H aufgestellt.

2. Der Ausdruck H Wird äquivalent in die kanonische alternative Normalform K (vgl. 4.1.1.1.) 
überführt.

3. Die kanonische alternative Normalform K von H liefert eine Übersicht über alle Belegungen, 
für,die K (und damit auch H) den Wert W annimmt (vgl. 4.1.1.2.), und folglich auch über alle 
Schaltstellungen, für welche die gegebene Schaltung elektrisch leitend ist. - 
Beispiel. Der zu einer gegebenen Reihenparallelschaltung (Abb. 10.8) zugehörige Ausdruck H 
laute

H = ((((a v b) n c) v (c n d)) A b)

bzw.

H = (a v b) bc v äbc, 
H = Abc v abc = K; 
daher ist die gegebene Schaltung für die Schaltstellungen 
a) A ausgeschaltet, B, C eingeschaltet sowie

b) A, B, C eingeschaltet

elektrisch leitend und für alle übrigen Schaltstellungen nichtleitend. ' 
Die Synthese beinhaltet die Aufgabe, eine Schaltung zu suchen, die vorgegebene Eigenschaften 
besitzt, Die Synthese, die gleichbedeutend mit der Aufgabe ist, einen Ausdruck H zu suchen, der zu 
vorgegebenen Belegungen den Wert W annimmt, wird wie folgt realisiert:

1. Es wird die kanonische alternative Normalform K aufgestellt, die genau bei den angegebenen Belegungen den Wert W annimmt.

2. Durch den Übergang von K zur zugeordneten Reihenparallelschaltung entsteht eine Schaltung, welche die 

Jeder Reihenparallelschaltung wird eindeutig eine verneinungstechnische Normalform zugeordnet und umgekehrt. Zum Begriff der verneinungstechnischen Normalform siehe

Übersicht zur Zusammenfassung und Verkürzung logischer Ausdrücke

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